Номер 1176, страница 292 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1176. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

а) $ \operatorname{ctg}(\alpha+3\pi) \sin(2\pi-\alpha) - \cos(\alpha-\pi) - \sin(\alpha-\pi) = \sin \alpha $

при $ \alpha \ne \pi k $, где $ k $ — любое целое число;

б) $ 3 \operatorname{tg}(\alpha-5\pi) \cos(\pi-\alpha) + \sin(-\alpha-\pi) + 2 \sin(\pi-\alpha) = 0 $

при $ \alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число.

а) Докажем тождество $\text{ctg}(\alpha + 3\pi) \sin(2\pi - \alpha) - \cos(\alpha - \pi) - \sin(\alpha - \pi) = \sin \alpha$.

Для этого преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

1. Период котангенса равен $\pi$, поэтому $\text{ctg}(\alpha + 3\pi) = \text{ctg}(\alpha)$.

2. Используя формулу приведения для синуса: $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha$ (угол $2\pi - \alpha$ находится в IV четверти, где синус отрицателен).

3. Косинус – четная функция, поэтому $\cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha)$. По формуле приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен).

4. Синус – нечетная функция, поэтому $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha)$. По формуле приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен). Следовательно, $\sin(\alpha - \pi) = -\sin\alpha$.

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$\text{ctg}(\alpha) \cdot (-\sin\alpha) - (-\cos\alpha) - (-\sin\alpha)$

Раскроем скобки и заменим котангенс на отношение косинуса к синусу: $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

$-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha + \cos\alpha + \sin\alpha$

При условии, что $\alpha \neq \pi k$, $\sin\alpha \neq 0$, поэтому можно сократить:

$-\cos\alpha + \cos\alpha + \sin\alpha = \sin\alpha$

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем тождество $3\text{tg}(\alpha - 5\pi) \cos(\pi - \alpha) + \sin(-\alpha - \pi) + 2\sin(\pi - \alpha) = 0$.

Преобразуем левую часть равенства.

1. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\text{tg}(\alpha - 5\pi) = \text{tg}(\alpha)$.

2. По формуле приведения: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ (II четверть, косинус отрицателен).

3. Преобразуем $\sin(-\alpha - \pi)$: $\sin(-(\alpha + \pi)) = -\sin(\alpha + \pi)$. По формуле приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$ (III четверть, синус отрицателен). Значит, $-\sin(\alpha + \pi) = -(-\sin\alpha) = \sin\alpha$.

4. По формуле приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (II четверть, синус положителен).

Подставим упрощенные выражения в левую часть равенства:

$3\text{tg}(\alpha) \cdot (-\cos\alpha) + \sin\alpha + 2\sin\alpha$

Заменим тангенс на отношение синуса к косинусу: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$-3 \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha + \sin\alpha + 2\sin\alpha$

При условии, что $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $\cos\alpha \neq 0$, поэтому можно сократить:

$-3\sin\alpha + \sin\alpha + 2\sin\alpha = -3\sin\alpha + 3\sin\alpha = 0$

Левая часть равна правой (0). Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.