Номер 1180, страница 293 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1180. Вычислите:

а) $\cos 37^\circ 30^\prime \cos 7^\circ 30^\prime$;

в) $\cos 15^\circ \cos 75^\circ$;

д) $\sin 15^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ \cos 15^\circ$;

ж) $\frac{\operatorname{tg} 13^\circ + \operatorname{tg} 17^\circ}{1 - \operatorname{tg} 13^\circ \operatorname{tg} 17^\circ}$;

и) $\frac{\operatorname{tg} 113^\circ + \operatorname{tg} 7^\circ}{1 - \operatorname{tg} 113^\circ \operatorname{tg} 7^\circ}$;

б) $\sin 75^\circ \sin 15^\circ$;

г) $\sin \frac{5\pi}{24} \sin \frac{\pi}{24}$;

е) $\operatorname{tg} \frac{11\pi}{12} + \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}$;

з) $\frac{\operatorname{tg} 1^\circ - \operatorname{tg} 46^\circ}{1 + \operatorname{tg} 1^\circ \operatorname{tg} 46^\circ}$;

к) $\frac{\operatorname{tg} 150^\circ - \operatorname{tg} 15^\circ}{1 + \operatorname{tg} 150^\circ \operatorname{tg} 15^\circ}$.

а) Для вычисления выражения $ \cos 37^\circ30' \cos 7^\circ30' $ воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $.
Пусть $ \alpha = 37^\circ30' $ и $ \beta = 7^\circ30' $. Тогда:
$ \alpha + \beta = 37^\circ30' + 7^\circ30' = 45^\circ $
$ \alpha - \beta = 37^\circ30' - 7^\circ30' = 30^\circ $
Подставим значения в формулу:
$ \cos 37^\circ30' \cos 7^\circ30' = \frac{1}{2}(\cos 45^\circ + \cos 30^\circ) = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4} $.

б) Для вычисления выражения $ \sin 75^\circ \sin 15^\circ $ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.
Пусть $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $. Тогда:
$ \alpha - \beta = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ $
$ \alpha + \beta = 75^\circ + 15^\circ = 90^\circ $
Подставим значения в формулу:
$ \sin 75^\circ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ - \cos 90^\circ) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 0) = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

в) Для вычисления выражения $ \cos 15^\circ \cos 75^\circ $ используем формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $.
$ \cos 75^\circ = \sin(90^\circ - 75^\circ) = \sin 15^\circ $.
Тогда исходное выражение принимает вид:
$ \cos 15^\circ \cos 75^\circ = \cos 15^\circ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}(2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 15^\circ) = \frac{1}{2}\sin 30^\circ $.
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

г) Для вычисления выражения $ \sin \frac{5\pi}{24} \sin \frac{\pi}{24} $ воспользуемся формулой $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.
Пусть $ \alpha = \frac{5\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{\pi}{24} $. Тогда:
$ \alpha - \beta = \frac{5\pi}{24} - \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6} $
$ \alpha + \beta = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4} $
Подставим значения в формулу:
$ \sin \frac{5\pi}{24} \sin \frac{\pi}{24} = \frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{6} - \cos \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{4} $.

д) Для вычисления выражения $ \sin 15^\circ + \tg 30^\circ \cos 15^\circ $ заменим $ \tg 30^\circ $ на $ \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} $.
$ \sin 15^\circ + \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} \cos 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ \cos 30^\circ + \cos 15^\circ \sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} $.
В числителе мы видим формулу синуса суммы углов $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.
$ \frac{\sin(15^\circ + 30^\circ)}{\cos 30^\circ} = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{3} $.

е) Для вычисления выражения $ \tg \frac{11\pi}{12} + \tg \frac{5\pi}{12} $ воспользуемся формулой $ \tg \alpha + \tg \beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cos \beta} $.
Пусть $ \alpha = \frac{11\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{12} $.
$ \alpha + \beta = \frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{16\pi}{12} = \frac{4\pi}{3} $.
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Вычислим знаменатель $ \cos \alpha \cos \beta = \cos(\frac{11\pi}{12}) \cos(\frac{5\pi}{12}) $, используя формулу произведения косинусов:
$ \cos(\frac{11\pi}{12}) \cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{1}{2}(\cos(\frac{11\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}) + \cos(\frac{11\pi}{12}-\frac{5\pi}{12})) = \frac{1}{2}(\cos(\frac{4\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} + 0) = -\frac{1}{4} $.
Тогда итоговое выражение равно $ \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3} $.
Ответ: $ 2\sqrt{3} $.

ж) Выражение $ \frac{\tg 13^\circ + \tg 17^\circ}{1 - \tg 13^\circ \tg 17^\circ} $ соответствует формуле тангенса суммы углов $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $.
$ \frac{\tg 13^\circ + \tg 17^\circ}{1 - \tg 13^\circ \tg 17^\circ} = \tg(13^\circ + 17^\circ) = \tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

з) Выражение $ \frac{\tg 1^\circ - \tg 46^\circ}{1 + \tg 1^\circ \tg 46^\circ} $ соответствует формуле тангенса разности углов $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $.
$ \frac{\tg 1^\circ - \tg 46^\circ}{1 + \tg 1^\circ \tg 46^\circ} = \tg(1^\circ - 46^\circ) = \tg(-45^\circ) = -\tg 45^\circ = -1 $.
Ответ: $ -1 $.

и) Выражение $ \frac{\tg 113^\circ + \tg 7^\circ}{1 - \tg 113^\circ \tg 7^\circ} $ соответствует формуле тангенса суммы углов $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $.
$ \frac{\tg 113^\circ + \tg 7^\circ}{1 - \tg 113^\circ \tg 7^\circ} = \tg(113^\circ + 7^\circ) = \tg 120^\circ = \tg(180^\circ - 60^\circ) = -\tg 60^\circ = -\sqrt{3} $.
Ответ: $ -\sqrt{3} $.

к) Выражение $ \frac{\tg 150^\circ - \tg 15^\circ}{1 + \tg 150^\circ \tg 15^\circ} $ соответствует формуле тангенса разности углов $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $.
$ \frac{\tg 150^\circ - \tg 15^\circ}{1 + \tg 150^\circ \tg 15^\circ} = \tg(150^\circ - 15^\circ) = \tg 135^\circ = \tg(180^\circ - 45^\circ) = -\tg 45^\circ = -1 $.
Ответ: $ -1 $.