Номер 1184, страница 293 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1184. Найдите все углы $\alpha$, для каждого из которых одновременно

имеют смысл обе части равенства:

a) $ctg^2 \alpha - \cos^2 \alpha = ctg^2 \alpha \cos^2 \alpha$;

б) $\cos^2 \alpha (tg \alpha + 2)(2 tg \alpha + 1) = 5 \sin \alpha \cos \alpha + 2.$

Для найденных углов $\alpha$ докажите справедливость равенства.

Задача состоит в том, чтобы найти все углы $α$, для которых выражения в обеих частях равенств имеют смысл, а затем доказать справедливость этих равенств для найденных углов.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).

Обе части равенства имеют смысл, если определены все входящие в них тригонометрические функции. Функция $cos^2α$ определена для любого угла $α$. Функция $ctg^2α$ определена тогда, когда определен $ctgα = \frac{cosα}{sinα}$, то есть при условии, что знаменатель не равен нулю: $sinα ≠ 0$.

Условие $sinα ≠ 0$ выполняется для всех углов $α$, кроме тех, для которых $α = πk$, где $k$ — любое целое число ($k ∈ Z$).

Таким образом, область допустимых значений для данного равенства: $α ≠ πk, k ∈ Z$.

2. Доказательство равенства.

Преобразуем левую часть равенства, используя определение котангенса, для всех $α$ из ОДЗ:

$ctg^2α - cos^2α = \frac{cos^2α}{sin^2α} - cos^2α$

Вынесем общий множитель $cos^2α$ за скобки:

$cos^2α \left( \frac{1}{sin^2α} - 1 \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$cos^2α \left( \frac{1 - sin^2α}{sin^2α} \right)$

Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin^2α + cos^2α = 1$, имеем $1 - sin^2α = cos^2α$. Подставим это в наше выражение:

$cos^2α \left( \frac{cos^2α}{sin^2α} \right)$

Поскольку $\frac{cos^2α}{sin^2α} = ctg^2α$, получаем:

$cos^2α \cdot ctg^2α = ctg^2α cos^2α$

Левая часть тождественно равна правой. Следовательно, равенство доказано для всех углов $α$, при которых оно имеет смысл.

Ответ: Равенство имеет смысл и является верным для всех углов $α$ таких, что $α ≠ πk$, где $k ∈ Z$.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).

Равенство имеет смысл, если определены все функции в его составе. Функции $sinα$ и $cosα$ определены для любых $α$. Функция $tgα = \frac{sinα}{cosα}$ определена тогда, когда ее знаменатель не равен нулю: $cosα ≠ 0$.

Условие $cosα ≠ 0$ выполняется для всех углов $α$, кроме тех, для которых $α = \frac{π}{2} + πk$, где $k$ — любое целое число ($k ∈ Z$).

Таким образом, область допустимых значений для данного равенства: $α ≠ \frac{π}{2} + πk, k ∈ Z$.

2. Доказательство равенства.

Преобразуем левую часть равенства для всех $α$ из ОДЗ. Сначала раскроем скобки с тангенсами:

$(tgα + 2)(2tgα + 1) = 2tg^2α + tgα + 4tgα + 2 = 2tg^2α + 5tgα + 2$

Теперь умножим полученное выражение на $cos^2α$:

$cos^2α(2tg^2α + 5tgα + 2)$

Подставим определение тангенса $tgα = \frac{sinα}{cosα}$:

$cos^2α \left( 2\frac{sin^2α}{cos^2α} + 5\frac{sinα}{cosα} + 2 \right)$

Раскроем скобки, умножив $cos^2α$ на каждый член внутри. Поскольку мы работаем в ОДЗ, где $cosα ≠ 0$, мы можем сокращать:

$2 \cdot cos^2α \frac{sin^2α}{cos^2α} + 5 \cdot cos^2α \frac{sinα}{cosα} + 2 \cdot cos^2α = 2sin^2α + 5sinαcosα + 2cos^2α$

Сгруппируем слагаемые:

$(2sin^2α + 2cos^2α) + 5sinαcosα$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(sin^2α + cos^2α) + 5sinαcosα$

Применяя основное тригонометрическое тождество $sin^2α + cos^2α = 1$, получаем:

$2 \cdot 1 + 5sinαcosα = 2 + 5sinαcosα$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, равенство доказано для всех углов $α$, при которых оно имеет смысл.

Ответ: Равенство имеет смысл и является верным для всех углов $α$ таких, что $α ≠ \frac{π}{2} + πk$, где $k ∈ Z$.