Номер 1183, страница 293 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1183. Докажите справедливость равенства:

а) $ \cos 2\alpha (\sin \alpha + \sin 3\alpha) = \sin 2\alpha (\cos \alpha + \cos 3\alpha) $;

б) $ (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2 + (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)^2 = 1 $.

а) Докажем тождество $ \cos 2\alpha(\sin\alpha + \sin 3\alpha) = \sin 2\alpha(\cos\alpha + \cos 3\alpha) $.

Для доказательства преобразуем левую и правую части равенства по отдельности, используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

• $ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $
• $ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $

1. Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ):

$ ЛЧ = \cos 2\alpha(\sin\alpha + \sin 3\alpha) $

Применим формулу суммы синусов к выражению в скобках:

$ \sin\alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2 \sin \frac{4\alpha}{2} \cos \frac{-2\alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos(-\alpha) $

Так как $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $, получаем:

$ \sin\alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos\alpha $

Подставим это обратно в левую часть:

$ ЛЧ = \cos 2\alpha \cdot (2 \sin 2\alpha \cos\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos\alpha $

2. Преобразуем правую часть равенства (ПЧ):

$ ПЧ = \sin 2\alpha(\cos\alpha + \cos 3\alpha) $

Применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:

$ \cos\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2 \cos \frac{4\alpha}{2} \cos \frac{-2\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos(-\alpha) $

Так как $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $, получаем:

$ \cos\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos 2\alpha \cos\alpha $

Подставим это обратно в правую часть:

$ ПЧ = \sin 2\alpha \cdot (2 \cos 2\alpha \cos\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos\alpha $

3. Сравним полученные выражения:

$ ЛЧ = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos\alpha $

$ ПЧ = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos\alpha $

Левая и правая части равны. Следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем тождество $ (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta)^2 + (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta)^2 = 1 $.

Для доказательства воспользуемся формулами сложения углов:

• $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $
• $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $

1. Заметим, что выражение в первой скобке является формулой синуса суммы углов $ \alpha $ и $ \beta $.

$ \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = \sin(\alpha + \beta) $

2. Выражение во второй скобке является формулой косинуса суммы углов $ \alpha $ и $ \beta $.

$ \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha + \beta) $

3. Подставим эти выражения в исходное равенство:

$ (\sin(\alpha + \beta))^2 + (\cos(\alpha + \beta))^2 = 1 $

4. Полученное выражение представляет собой основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, где $ x = \alpha + \beta $.

$ \sin^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha + \beta) = 1 $

$ 1 = 1 $

Равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.