Номер 1185, страница 293 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи

1185. a) В нашем классе 32 человека. 23 человека любят кошек, 18 человек — собак. Причём 10 человек любят и кошек, и собак. Сколько человек нашего класса не любят ни кошек, ни собак?

б) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино и музей — 6 человек, а 2 человека не ходили ни в кино, ни в музей. Сколько человек нашего класса ходили в кино?

а)

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств. Пусть $К$ — это множество учеников, которые любят кошек, а $С$ — множество учеников, которые любят собак. По условию задачи, всего в классе 32 человека, из них 23 любят кошек ($|К|=23$), 18 любят собак ($|С|=18$), и 10 любят и кошек, и собак ($|К \cap С|=10$).

Сначала определим, сколько всего учеников любят хотя бы одно из этих животных. Это количество равно мощности объединения множеств $К$ и $С$. Для его нахождения применим формулу включений-исключений: $|К \cup С| = |К| + |С| - |К \cap С|$. Подставив данные из условия, получим: $|К \cup С| = 23 + 18 - 10 = 31$. Итак, 31 ученик любит кошек, или собак, или и тех и других.

Чтобы найти количество учеников, которые не любят ни кошек, ни собак, необходимо из общего числа учеников в классе вычесть число учеников, которые любят хотя бы одно животное: $32 - |К \cup С| = 32 - 31 = 1$.

Ответ: 1 человек.

б)

Пусть $М$ — множество учащихся, которые ходили в музей, а $К$ — множество учащихся, которые ходили в кино. По условию, всего в классе 30 учащихся. Известно, что в музей ходили 23 человека ($|М|=23$), и в кино, и в музей ходили 6 человек ($|К \cap М|=6$), а 2 человека не ходили ни в кино, ни в музей.

Сначала найдем общее количество учащихся, которые посетили хотя бы одно из этих мест (кино или музей). Для этого из общего числа учащихся вычтем тех, кто никуда не ходил: $|К \cup М| = 30 - 2 = 28$. Таким образом, 28 учащихся были либо в кино, либо в музее, либо и там, и там.

Теперь мы можем найти количество учащихся, которые ходили в кино ($|К|$), используя формулу включений-исключений: $|К \cup М| = |К| + |М| - |К \cap М|$. Подставим в нее известные нам значения: $28 = |К| + 23 - 6$. Упростим правую часть уравнения: $28 = |К| + 17$.

Остается решить это простое уравнение относительно $|К|$: $|К| = 28 - 17 = 11$.

Ответ: 11 человек.