Номер 1186, страница 294 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1186. В нашем классе 20 учащихся любят либо физику, либо математику, либо оба эти предмета. Среди любителей физики 50% любят математику, а среди любителей математики 25% любят физику. Сколько учащихся нашего класса любят и физику, и математику?

Для решения задачи введем следующие обозначения, используя теорию множеств:
Пусть $F$ – это множество учащихся, которые любят физику, а $M$ – множество учащихся, которые любят математику.
Тогда $|F|$ – количество учащихся, любящих физику, $|M|$ – количество любящих математику, $|F \cap M|$ – количество учащихся, любящих и физику, и математику (пересечение множеств), а $|F \cup M|$ – количество учащихся, любящих хотя бы один из этих предметов (объединение множеств).

Исходя из условий задачи, мы можем сформулировать следующие утверждения:
1. В классе 20 учащихся любят либо физику, либо математику, либо оба эти предмета. Это означает, что размер объединения множеств равен 20: $|F \cup M| = 20$.
2. Среди любителей физики 50% любят математику. Это значит, что количество учеников, любящих оба предмета, составляет половину от всех любителей физики: $|F \cap M| = 0.5 \cdot |F|$.
3. Среди любителей математики 25% любят физику. Аналогично, количество учеников, любящих оба предмета, составляет четверть от всех любителей математики: $|F \cap M| = 0.25 \cdot |M|$.

Из второго и третьего утверждений выразим количество любителей физики $|F|$ и количество любителей математики $|M|$ через количество тех, кто любит оба предмета $|F \cap M|$:
Из $|F \cap M| = 0.5 \cdot |F|$ следует, что $|F| = \frac{|F \cap M|}{0.5} = 2 \cdot |F \cap M|$.
Из $|F \cap M| = 0.25 \cdot |M|$ следует, что $|M| = \frac{|F \cap M|}{0.25} = 4 \cdot |F \cap M|$.

Теперь воспользуемся формулой включений-исключений для двух множеств:
$|F \cup M| = |F| + |M| - |F \cap M|$
Подставим в эту формулу известные нам значения и полученные выражения:
$20 = (2 \cdot |F \cap M|) + (4 \cdot |F \cap M|) - |F \cap M|$
Теперь решим это уравнение относительно $|F \cap M|$:
$20 = (2 + 4 - 1) \cdot |F \cap M|$
$20 = 5 \cdot |F \cap M|$
$|F \cap M| = \frac{20}{5} = 4$

Таким образом, количество учащихся, которые любят и физику, и математику, равно 4.
Ответ: 4.