Номер 1172, страница 292 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1172. Найдите все значения угла $\beta$ $(0 < \beta < 2\pi)$, при каждом из которых справедливо неравенство:

a) $\sin \beta \cos \beta > 0$;

б) $\sin \beta \cos \beta < 0$.

Неравенство $ \sin \beta \cos \beta > 0 $ справедливо, когда оба сомножителя, $ \sin \beta $ и $ \cos \beta $, имеют одинаковые знаки.

Способ 1: Анализ знаков по четвертям.

Рассмотрим два случая для угла $ \beta $ в интервале $ 0 < \beta < 2\pi $:

1. Оба сомножителя положительны: $ \sin \beta > 0 $ и $ \cos \beta > 0 $.
$ \sin \beta > 0 $ в I и II четвертях ($ 0 < \beta < \pi $).
$ \cos \beta > 0 $ в I и IV четвертях ($ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $).
Одновременное выполнение этих условий возможно только в I четверти, где $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $.

2. Оба сомножителя отрицательны: $ \sin \beta < 0 $ и $ \cos \beta < 0 $.
$ \sin \beta < 0 $ в III и IV четвертях ($ \pi < \beta < 2\pi $).
$ \cos \beta < 0 $ во II и III четвертях ($ \frac{\pi}{2} < \beta < \frac{3\pi}{2} $).
Одновременное выполнение этих условий возможно только в III четверти, где $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется для углов из I и III координатных четвертей.

Способ 2: Использование формулы двойного угла.

Используем тождество $ \sin(2\beta) = 2 \sin \beta \cos \beta $.
Исходное неравенство $ \sin \beta \cos \beta > 0 $ можно умножить на 2, получив $ 2 \sin \beta \cos \beta > 0 $, что равносильно неравенству $ \sin(2\beta) > 0 $.
Решением этого неравенства являются интервалы $ 2k\pi < 2\beta < \pi + 2k\pi $, где $ k $ - целое число.
Разделив все части неравенства на 2, получаем: $ k\pi < \beta < \frac{\pi}{2} + k\pi $.
Теперь найдем решения, принадлежащие заданному интервалу $ (0, 2\pi) $, подставляя различные целые значения $ k $:
При $ k=0 $: $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $.
При $ k=1 $: $ \pi < \beta < \frac{\pi}{2} + \pi $, то есть $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $.
При других целых значениях $ k $ (например, $ k=2 $ или $ k=-1 $) решения выходят за пределы интервала $ (0, 2\pi) $.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $ или $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $.

Неравенство $ \sin \beta \cos \beta < 0 $ справедливо, когда сомножители $ \sin \beta $ и $ \cos \beta $ имеют разные знаки.

Способ 1: Анализ знаков по четвертям.

Рассмотрим два случая для угла $ \beta $ в интервале $ 0 < \beta < 2\pi $:

1. $ \sin \beta > 0 $ и $ \cos \beta < 0 $.
Это соответствует II координатной четверти, где $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $.

2. $ \sin \beta < 0 $ и $ \cos \beta > 0 $.
Это соответствует IV координатной четверти, где $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется для углов из II и IV координатных четвертей.

Способ 2: Использование формулы двойного угла.

Используя тождество $ \sin(2\beta) = 2 \sin \beta \cos \beta $, перепишем неравенство $ \sin \beta \cos \beta < 0 $ как $ \frac{1}{2}\sin(2\beta) < 0 $, что равносильно $ \sin(2\beta) < 0 $.
Решением этого неравенства являются интервалы $ \pi + 2k\pi < 2\beta < 2\pi + 2k\pi $, где $ k $ - целое число.
Разделив все части неравенства на 2, получаем: $ \frac{\pi}{2} + k\pi < \beta < \pi + k\pi $.
Теперь найдем решения, принадлежащие заданному интервалу $ (0, 2\pi) $, подставляя различные целые значения $ k $:
При $ k=0 $: $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $.
При $ k=1 $: $ \frac{\pi}{2} + \pi < \beta < \pi + \pi $, то есть $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $.
При других целых значениях $ k $ решения выходят за пределы интервала $ (0, 2\pi) $.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $ или $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $.