Номер 1171, страница 291 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1171. Вычислите:

a) $2 \sin \frac{\pi}{6} + 3 \cos \frac{\pi}{6} - 2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} - 1,5 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} + \frac{3}{\sin \frac{\pi}{6}} + \frac{1}{\cos \frac{\pi}{6}};$

б) $2 \sin 45^\circ + 2 \cos 45^\circ - 3 \operatorname{tg} 45^\circ - 10 \operatorname{ctg} 45^\circ + \frac{2}{\sin 45^\circ} - \frac{4}{\cos 45^\circ};$

в) $\sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3} - 2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} - 1,5 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} + \frac{1}{\cos \frac{\pi}{3}} + \frac{3}{\sin \frac{\pi}{3}};$

г) $\sin \frac{\pi}{2} - 6 \cos \frac{\pi}{2} + 3 \operatorname{tg} 0 + \frac{5}{\cos 0^\circ};$

д) $2 \sin 180^\circ - 3 \cos 180^\circ + 4 \operatorname{tg} 180^\circ + \frac{2}{\cos 180^\circ};$

е) $3 \sin \frac{3\pi}{2} - 4 \cos \frac{3\pi}{2} + 5 \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{\sin \frac{3\pi}{2}};$

ж) $\frac{\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3} - \cos \frac{\pi}{4} \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}{\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{4} - \sin^2 \frac{\pi}{2} \cos^4 \frac{3\pi}{2}};$

3) $\frac{\frac{1}{\cos (-30^\circ)} + \frac{1}{\sin (-30^\circ)}}{\sin^2 (-60^\circ) + \frac{1}{\sin (-30^\circ)}}.$

а) $2 \sin\frac{\pi}{6} + 3 \cos\frac{\pi}{6} - 2 \tan\frac{\pi}{6} - 1,5 \cot\frac{\pi}{6} + \frac{3}{\sin\frac{\pi}{6}} + \frac{1}{\cos\frac{\pi}{6}}$

Для вычисления данного выражения подставим значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$):

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$

Подставляем эти значения в исходное выражение:

$2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - 1,5 \cdot \sqrt{3} + \frac{3}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Упростим каждый член выражения:

$1 + \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{3}{2}\sqrt{3} + 6 + \frac{2}{\sqrt{3}}$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(1 + 6) + (\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}})$

Как видно, слагаемые с корнями взаимно уничтожаются:

$7 + 0 + 0 = 7$

Ответ: 7

б) $2 \sin 45^\circ + 2 \cos 45^\circ - 3 \tan 45^\circ - 10 \cot 45^\circ + \frac{2}{\sin 45^\circ} - \frac{4}{\cos 45^\circ}$

Подставим значения тригонометрических функций для угла $45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 45^\circ = 1$

$\cot 45^\circ = 1$

Подставляем в выражение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot 1 - 10 \cdot 1 + \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Упрощаем:

$\sqrt{2} + \sqrt{2} - 3 - 10 + \frac{4}{\sqrt{2}} - \frac{8}{\sqrt{2}}$

Объединяем слагаемые:

$2\sqrt{2} - 13 - \frac{4}{\sqrt{2}}$

Для упрощения дроби $\frac{4}{\sqrt{2}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Подставляем обратно в выражение:

$2\sqrt{2} - 13 - 2\sqrt{2}$

Слагаемые $2\sqrt{2}$ и $-2\sqrt{2}$ взаимно уничтожаются:

$-13$

Ответ: -13

в) $\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3} - 2 \tan\frac{\pi}{3} - 1,5 \cot\frac{\pi}{3} + \frac{1}{\cos\frac{\pi}{3}} + \frac{3}{\sin\frac{\pi}{3}}$

Подставим значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует $60^\circ$):

$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

$\cot\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Подставляем значения в выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} - 1,5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Упрощаем:

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} - \frac{3}{2\sqrt{3}} + 2 + \frac{6}{\sqrt{3}}$

Упростим дроби с иррациональностью в знаменателе: $\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 + 2\sqrt{3}$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(\frac{1}{2} + 2) + (\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\sqrt{3})$

$2,5 + 0 = 2,5$

Ответ: 2,5

г) $\sin\frac{\pi}{2} - 6 \cos\frac{\pi}{2} + 3 \tan 0 + \frac{5}{\cos 0^\circ}$

Подставим значения тригонометрических функций:

$\sin\frac{\pi}{2} = 1$

$\cos\frac{\pi}{2} = 0$

$\tan 0 = 0$

$\cos 0^\circ = 1$

Подставляем в выражение:

$1 - 6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + \frac{5}{1}$

Выполняем вычисления:

$1 - 0 + 0 + 5 = 6$

Ответ: 6

д) $2 \sin 180^\circ - 3 \cos 180^\circ + 4 \tan 180^\circ + \frac{2}{\cos 180^\circ}$

Подставим значения тригонометрических функций для угла $180^\circ$ (или $\pi$ радиан):

$\sin 180^\circ = 0$

$\cos 180^\circ = -1$

$\tan 180^\circ = 0$

Подставляем в выражение:

$2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 + \frac{2}{-1}$

Выполняем вычисления:

$0 - (-3) + 0 - 2 = 3 - 2 = 1$

Ответ: 1

е) $3 \sin\frac{3\pi}{2} - 4 \cos\frac{3\pi}{2} + 5 \cot\frac{3\pi}{2} + \frac{1}{\sin\frac{3\pi}{2}}$

Подставим значения тригонометрических функций для угла $\frac{3\pi}{2}$ (что соответствует $270^\circ$):

$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$

$\cos\frac{3\pi}{2} = 0$

$\cot\frac{3\pi}{2} = \frac{\cos(3\pi/2)}{\sin(3\pi/2)} = \frac{0}{-1} = 0$

Подставляем в выражение:

$3 \cdot (-1) - 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + \frac{1}{-1}$

Выполняем вычисления:

$-3 - 0 + 0 - 1 = -4$

Ответ: -4

ж) $\frac{\sin\frac{\pi}{4} \cos\frac{\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{4} \sin(-\frac{\pi}{3})}{\tan^2\frac{\pi}{4} - \sin^2\frac{\pi}{2} \cos^4\frac{3\pi}{2}}$

Сначала вычислим числитель. Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

Числитель: $\sin\frac{\pi}{4} \cos\frac{\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{4} (-\sin\frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{4} \sin\frac{\pi}{3}$.

Подставим известные значения: $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Числитель = $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

Теперь вычислим знаменатель:

Знаменатель: $\tan^2\frac{\pi}{4} - \sin^2\frac{\pi}{2} \cos^4\frac{3\pi}{2}$.

Знаем, что $\tan\frac{\pi}{4} = 1$, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$.

Знаменатель = $1^2 - (1^2 \cdot 0^4) = 1 - 0 = 1$.

Теперь найдем значение всей дроби:

$\frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{1} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

з) $\frac{\frac{1}{\cos(-30^\circ)} + \frac{1}{\sin(-30^\circ)}}{\sin^2(-60^\circ) + \frac{1}{\sin(-30^\circ)}}$

Сначала найдем значения тригонометрических функций для отрицательных углов, используя свойства четности и нечетности ($\cos(-x) = \cos(x)$, $\sin(-x) = -\sin(x)$):

$\cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$

$\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin^2(-60^\circ) = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{-\frac{1}{2}}}{\frac{3}{4} + \frac{1}{-\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} - 2}{\frac{3}{4} - 2}$

Упростим числитель и знаменатель дроби отдельно.

Числитель: $\frac{2}{\sqrt{3}} - 2 = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.

Знаменатель: $\frac{3}{4} - 2 = \frac{3}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{5}{4}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{2 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{-\frac{5}{4}} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{\sqrt{3}} \cdot (-\frac{4}{5}) = -\frac{8(1 - \sqrt{3})}{5\sqrt{3}} = \frac{8(\sqrt{3} - 1)}{5\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{8(\sqrt{3} - 1) \cdot \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{8(3 - \sqrt{3})}{5 \cdot 3} = \frac{8(3 - \sqrt{3})}{15}$

Ответ: $\frac{8(3 - \sqrt{3})}{15}$