Страница 292 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1172. Найдите все значения угла $\beta$ $(0 < \beta < 2\pi)$, при каждом из которых справедливо неравенство:

a) $\sin \beta \cos \beta > 0$;

б) $\sin \beta \cos \beta < 0$.

Неравенство $ \sin \beta \cos \beta > 0 $ справедливо, когда оба сомножителя, $ \sin \beta $ и $ \cos \beta $, имеют одинаковые знаки.

Способ 1: Анализ знаков по четвертям.

Рассмотрим два случая для угла $ \beta $ в интервале $ 0 < \beta < 2\pi $:

1. Оба сомножителя положительны: $ \sin \beta > 0 $ и $ \cos \beta > 0 $.
$ \sin \beta > 0 $ в I и II четвертях ($ 0 < \beta < \pi $).
$ \cos \beta > 0 $ в I и IV четвертях ($ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $).
Одновременное выполнение этих условий возможно только в I четверти, где $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $.

2. Оба сомножителя отрицательны: $ \sin \beta < 0 $ и $ \cos \beta < 0 $.
$ \sin \beta < 0 $ в III и IV четвертях ($ \pi < \beta < 2\pi $).
$ \cos \beta < 0 $ во II и III четвертях ($ \frac{\pi}{2} < \beta < \frac{3\pi}{2} $).
Одновременное выполнение этих условий возможно только в III четверти, где $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется для углов из I и III координатных четвертей.

Способ 2: Использование формулы двойного угла.

Используем тождество $ \sin(2\beta) = 2 \sin \beta \cos \beta $.
Исходное неравенство $ \sin \beta \cos \beta > 0 $ можно умножить на 2, получив $ 2 \sin \beta \cos \beta > 0 $, что равносильно неравенству $ \sin(2\beta) > 0 $.
Решением этого неравенства являются интервалы $ 2k\pi < 2\beta < \pi + 2k\pi $, где $ k $ - целое число.
Разделив все части неравенства на 2, получаем: $ k\pi < \beta < \frac{\pi}{2} + k\pi $.
Теперь найдем решения, принадлежащие заданному интервалу $ (0, 2\pi) $, подставляя различные целые значения $ k $:
При $ k=0 $: $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $.
При $ k=1 $: $ \pi < \beta < \frac{\pi}{2} + \pi $, то есть $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $.
При других целых значениях $ k $ (например, $ k=2 $ или $ k=-1 $) решения выходят за пределы интервала $ (0, 2\pi) $.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $ или $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $.

Неравенство $ \sin \beta \cos \beta < 0 $ справедливо, когда сомножители $ \sin \beta $ и $ \cos \beta $ имеют разные знаки.

Способ 1: Анализ знаков по четвертям.

Рассмотрим два случая для угла $ \beta $ в интервале $ 0 < \beta < 2\pi $:

1. $ \sin \beta > 0 $ и $ \cos \beta < 0 $.
Это соответствует II координатной четверти, где $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $.

2. $ \sin \beta < 0 $ и $ \cos \beta > 0 $.
Это соответствует IV координатной четверти, где $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется для углов из II и IV координатных четвертей.

Способ 2: Использование формулы двойного угла.

Используя тождество $ \sin(2\beta) = 2 \sin \beta \cos \beta $, перепишем неравенство $ \sin \beta \cos \beta < 0 $ как $ \frac{1}{2}\sin(2\beta) < 0 $, что равносильно $ \sin(2\beta) < 0 $.
Решением этого неравенства являются интервалы $ \pi + 2k\pi < 2\beta < 2\pi + 2k\pi $, где $ k $ - целое число.
Разделив все части неравенства на 2, получаем: $ \frac{\pi}{2} + k\pi < \beta < \pi + k\pi $.
Теперь найдем решения, принадлежащие заданному интервалу $ (0, 2\pi) $, подставляя различные целые значения $ k $:
При $ k=0 $: $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $.
При $ k=1 $: $ \frac{\pi}{2} + \pi < \beta < \pi + \pi $, то есть $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $.
При других целых значениях $ k $ решения выходят за пределы интервала $ (0, 2\pi) $.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $ или $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $.

1173. а) Найдите $\sin \alpha, \cos \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$, если $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

б) Найдите $\cos \beta, \sin \beta$ и $\operatorname{tg} \beta$, если $\operatorname{ctg} \beta = 2$ и $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$.

а) Нам дано, что $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти. Во второй четверти синус положителен ($\sin \alpha > 0$), а косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$).

1. Найдем котангенс. Котангенс и тангенс — взаимно обратные величины:

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$.

2. Найдем косинус, используя основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

$1 + (-\frac{3}{4})^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16}{16} + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$.

Таким образом, $\frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{25}{16}$, откуда следует, что $\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$.

Извлекаем квадратный корень: $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус отрицателен. Значит, выбираем знак "минус": $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.

3. Найдем синус, используя определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

Значение синуса положительно, что соответствует второй четверти.

Ответ: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\cot \alpha = -\frac{4}{3}$.

б) Нам дано, что $\cot \beta = 2$ и $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\beta$ находится в третьей координатной четверти. В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны ($\sin \beta < 0$, $\cos \beta < 0$).

1. Найдем тангенс. Тангенс и котангенс — взаимно обратные величины:

$\tan \beta = \frac{1}{\cot \beta} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем синус, используя основное тригонометрическое тождество, связывающее котангенс и синус: $1 + \cot^2 \beta = \frac{1}{\sin^2 \beta}$.

$1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

Таким образом, $\frac{1}{\sin^2 \beta} = 5$, откуда следует, что $\sin^2 \beta = \frac{1}{5}$.

Извлекаем квадратный корень: $\sin \beta = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Поскольку угол $\beta$ находится в третьей четверти, его синус отрицателен. Значит, выбираем знак "минус": $\sin \beta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.

3. Найдем косинус, используя определение котангенса $\cot \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$:

$\cos \beta = \cot \beta \cdot \sin \beta = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Значение косинуса отрицательно, что соответствует третьей четверти.

Ответ: $\cos \beta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\sin \beta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\tan \beta = \frac{1}{2}$.

1174. Определите знак числа:

a) $\frac{\cos 10 \sin 7 - \operatorname{tg} 10}{\cos (-\sqrt{2}) \operatorname{ctg}(-4)};$

б) $\frac{\sin (-3) \cos 4 \operatorname{tg}(-5)}{\operatorname{ctg} 6};$

в) $\frac{(\sin 3 \cos 4 - \sin 4 \cos 3)(\sin 3 \cos 4 + \sin 4 \cos 3)}{(\cos 3 \cos 4 - \sin 3 \sin 4)(\cos 3 \cos 4 + \sin 3 \sin 4)}.$

а) Рассмотрим выражение $ \frac{\cos 10 \sin 7 - \tg 10}{\cos(-\sqrt{2}) \ctg(-4)} $.

Для определения знака выражения, определим знаки каждого сомножителя и слагаемого. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $.

Числитель: $ \cos 10 \sin 7 - \tg 10 $

1. Определим знак $ \cos 10 $. Поскольку $ 3\pi \approx 9.42 $ и $ 7\pi/2 \approx 10.99 $, то $ 3\pi < 10 < 7\pi/2 $. Угол 10 радиан находится в IV четверти. В IV четверти косинус положителен, значит $ \cos 10 > 0 $.

2. Определим знак $ \sin 7 $. Поскольку $ 2\pi \approx 6.28 $ и $ 5\pi/2 \approx 7.85 $, то $ 2\pi < 7 < 5\pi/2 $. Угол 7 радиан находится в I четверти. В I четверти синус положителен, значит $ \sin 7 > 0 $.

3. Определим знак $ \tg 10 $. Угол 10 радиан находится в IV четверти, где тангенс отрицателен ($ \tg 10 = \sin 10 / \cos 10 $, где $ \sin 10 < 0 $ и $ \cos 10 > 0 $). Значит, $ \tg 10 < 0 $.

Теперь определим знак числителя. Произведение $ \cos 10 \sin 7 $ положительно, так как оба множителя положительны. Выражение $ -\tg 10 $ также положительно, так как $ \tg 10 < 0 $. Числитель представляет собой сумму двух положительных чисел $ (\cos 10 \sin 7) + (-\tg 10) $, следовательно, числитель положителен.

Знаменатель: $ \cos(-\sqrt{2}) \ctg(-4) $

1. Определим знак $ \cos(-\sqrt{2}) $. Функция косинус — четная, поэтому $ \cos(-\sqrt{2}) = \cos(\sqrt{2}) $. Приближенное значение $ \sqrt{2} \approx 1.414 $. Поскольку $ 0 < 1.414 < \pi/2 \approx 1.57 $, угол $ \sqrt{2} $ радиан находится в I четверти. В I четверти косинус положителен, значит $ \cos(-\sqrt{2}) > 0 $.

2. Определим знак $ \ctg(-4) $. Функция котангенс — нечетная, поэтому $ \ctg(-4) = -\ctg(4) $. Поскольку $ \pi \approx 3.14 $ и $ 3\pi/2 \approx 4.71 $, то $ \pi < 4 < 3\pi/2 $. Угол 4 радиана находится в III четверти. В III четверти котангенс положителен, значит $ \ctg(4) > 0 $. Следовательно, $ \ctg(-4) = -\ctg(4) < 0 $.

Знаменатель является произведением положительного числа $ \cos(-\sqrt{2}) $ и отрицательного числа $ \ctg(-4) $, поэтому знаменатель отрицателен.

Итоговый знак дроби: Числитель положителен (+), знаменатель отрицателен (–). Дробь $ \frac{(+)}{(-)} $ отрицательна. Следовательно, знак всего выражения — минус.

Ответ: знак минус.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{\sin(-3) \cos 4 \tg(-5)}{\ctg 6} $.

Определим знак каждого множителя в числителе и знаменателе.

1. $ \sin(-3) $: Функция синус нечетная, $ \sin(-3) = -\sin(3) $. Поскольку $ \pi/2 \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14 $, угол 3 радиана находится во II четверти, где синус положителен ($ \sin 3 > 0 $). Следовательно, $ \sin(-3) < 0 $.

2. $ \cos 4 $: Поскольку $ \pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71 $, угол 4 радиана находится в III четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos 4 < 0 $.

3. $ \tg(-5) $: Функция тангенс нечетная, $ \tg(-5) = -\tg(5) $. Поскольку $ 3\pi/2 \approx 4.71 < 5 < 2\pi \approx 6.28 $, угол 5 радиан находится в IV четверти, где тангенс отрицателен ($ \tg 5 < 0 $). Следовательно, $ \tg(-5) = -\tg(5) > 0 $.

4. $ \ctg 6 $: Поскольку $ 3\pi/2 \approx 4.71 < 6 < 2\pi \approx 6.28 $, угол 6 радиан находится в IV четверти, где котангенс отрицателен. Следовательно, $ \ctg 6 < 0 $.

Теперь определим знаки числителя и знаменателя. Числитель: $ \sin(-3) \cos 4 \tg(-5) $. Знаки множителей: $ (-) \cdot (-) \cdot (+) = (+) $. Числитель положителен.

Знаменатель: $ \ctg 6 $. Знаменатель отрицателен (–).

Итоговый знак дроби: $ \frac{(+)}{(-)} = (-) $. Следовательно, знак всего выражения — минус.

Ответ: знак минус.

в) Рассмотрим выражение $ \frac{(\sin 3 \cos 4 - \sin 4 \cos 3)(\sin 3 \cos 4 + \sin 4 \cos 3)}{(\cos 3 \cos 4 - \sin 3 \sin 4)(\cos 3 \cos 4 + \sin 3 \sin 4)} $.

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрическими формулами синуса и косинуса суммы и разности углов: $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta $ и $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta $.

Упростим числитель. Выражение в первой скобке является синусом разности: $ \sin 3 \cos 4 - \cos 3 \sin 4 = \sin(3-4) = \sin(-1) $. Выражение во второй скобке является синусом суммы: $ \sin 3 \cos 4 + \cos 3 \sin 4 = \sin(3+4) = \sin(7) $. Таким образом, числитель равен $ \sin(-1)\sin(7) $.

Упростим знаменатель. Выражение в первой скобке является косинусом суммы: $ \cos 3 \cos 4 - \sin 3 \sin 4 = \cos(3+4) = \cos(7) $. Выражение во второй скобке является косинусом разности: $ \cos 3 \cos 4 + \sin 3 \sin 4 = \cos(3-4) = \cos(-1) $. Таким образом, знаменатель равен $ \cos(7)\cos(-1) $.

Исходное выражение можно переписать в виде:

$ \frac{\sin(-1)\sin(7)}{\cos(7)\cos(-1)} = \frac{\sin(-1)}{\cos(-1)} \cdot \frac{\sin(7)}{\cos(7)} = \tg(-1) \cdot \tg(7) $.

Теперь определим знаки множителей:

1. Определим знак $ \tg(-1) $. Функция тангенс нечетная, поэтому $ \tg(-1) = -\tg(1) $. Поскольку $ 0 < 1 < \pi/2 \approx 1.57 $, угол 1 радиан находится в I четверти. В I четверти тангенс положителен, $ \tg(1) > 0 $. Следовательно, $ \tg(-1) < 0 $.

2. Определим знак $ \tg(7) $. Поскольку $ 2\pi \approx 6.28 < 7 < 5\pi/2 \approx 7.85 $, угол 7 радиан находится в I четверти. В I четверти тангенс положителен, $ \tg(7) > 0 $.

Знак всего выражения определяется произведением знаков $ \tg(-1) $ и $ \tg(7) $: $ (-) \cdot (+) = (-) $.

Следовательно, знак всего выражения — минус.

Ответ: знак минус.

1175. Вычислите:

a) $\frac{\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\left(\operatorname{tg}(-\pi) - \cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3} - 10\pi\right)\cos\left(-\frac{2\pi}{3} + 10\pi\right)};$

б) $\frac{\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{3\pi}{4}}.$

а) Вычислим значение выражения: $ \frac{\ctg(-\frac{\pi}{4})(\tg(-\pi) - \cos(-\frac{5\pi}{6}))}{\tg(\frac{\pi}{3} - 10\pi)\cos(-\frac{2\pi}{3} + 10\pi)} $
Для этого упростим каждый множитель, используя свойства четности/нечетности и периодичности тригонометрических функций.
Свойства: $ \cos(-x) = \cos(x) $, $ \ctg(-x) = -\ctg(x) $, $ \tg(-x) = -\tg(x) $.
Периоды: для тангенса и котангенса период равен $ \pi $, для синуса и косинуса — $ 2\pi $.

Вычислим числитель: $ \ctg(-\frac{\pi}{4})(\tg(-\pi) - \cos(-\frac{5\pi}{6})) $
1. $ \ctg(-\frac{\pi}{4}) = -\ctg(\frac{\pi}{4}) = -1 $
2. $ \tg(-\pi) = -\tg(\pi) = 0 $
3. $ \cos(-\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Подставляем значения в числитель: $ -1 \cdot (0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})) = -1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Вычислим знаменатель: $ \tg(\frac{\pi}{3} - 10\pi)\cos(-\frac{2\pi}{3} + 10\pi) $
1. $ \tg(\frac{\pi}{3} - 10\pi) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $ (так как период тангенса $ \pi $, а $ 10\pi $ - целое число периодов).
2. $ \cos(-\frac{2\pi}{3} + 10\pi) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) $ (так как период косинуса $ 2\pi $, а $ 10\pi = 5 \cdot 2\pi $ - целое число периодов).
$ \cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $
Подставляем значения в знаменатель: $ \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь найдем значение всей дроби:
$ \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1 $

Ответ: 1

б) Вычислим значение выражения: $ \frac{\tg(-\frac{\pi}{3})\tg(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6})}{\cos(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\frac{\pi}{4})\cos(\frac{3\pi}{4})} $
Упростим каждый член выражения по отдельности.

Вычислим числитель: $ \tg(-\frac{\pi}{3})\tg(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) $
1. $ \tg(-\frac{\pi}{3}) = -\tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} $
2. $ \tg(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = \tg(-(\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6})) = \tg(-\frac{4\pi}{6}) = \tg(-\frac{2\pi}{3}) $
Используя нечетность и периодичность тангенса: $ \tg(-\frac{2\pi}{3}) = -\tg(\frac{2\pi}{3}) = -\tg(\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\tg(\frac{\pi}{3})) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $
Подставляем значения в числитель: $ -\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = -3 $

Вычислим знаменатель: $ \cos(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\frac{\pi}{4})\cos(\frac{3\pi}{4}) $
1. $ \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $
2. $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
3. $ \cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Подставляем значения в знаменатель: $ 0 + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Теперь найдем значение всей дроби:
$ \frac{-3}{\frac{1}{2}} = -3 \cdot 2 = -6 $

Ответ: -6

1176. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

а) $ \operatorname{ctg}(\alpha+3\pi) \sin(2\pi-\alpha) - \cos(\alpha-\pi) - \sin(\alpha-\pi) = \sin \alpha $

при $ \alpha \ne \pi k $, где $ k $ — любое целое число;

б) $ 3 \operatorname{tg}(\alpha-5\pi) \cos(\pi-\alpha) + \sin(-\alpha-\pi) + 2 \sin(\pi-\alpha) = 0 $

при $ \alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число.

а) Докажем тождество $\text{ctg}(\alpha + 3\pi) \sin(2\pi - \alpha) - \cos(\alpha - \pi) - \sin(\alpha - \pi) = \sin \alpha$.

Для этого преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

1. Период котангенса равен $\pi$, поэтому $\text{ctg}(\alpha + 3\pi) = \text{ctg}(\alpha)$.

2. Используя формулу приведения для синуса: $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha$ (угол $2\pi - \alpha$ находится в IV четверти, где синус отрицателен).

3. Косинус – четная функция, поэтому $\cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha)$. По формуле приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен).

4. Синус – нечетная функция, поэтому $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha)$. По формуле приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен). Следовательно, $\sin(\alpha - \pi) = -\sin\alpha$.

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$\text{ctg}(\alpha) \cdot (-\sin\alpha) - (-\cos\alpha) - (-\sin\alpha)$

Раскроем скобки и заменим котангенс на отношение косинуса к синусу: $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

$-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha + \cos\alpha + \sin\alpha$

При условии, что $\alpha \neq \pi k$, $\sin\alpha \neq 0$, поэтому можно сократить:

$-\cos\alpha + \cos\alpha + \sin\alpha = \sin\alpha$

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем тождество $3\text{tg}(\alpha - 5\pi) \cos(\pi - \alpha) + \sin(-\alpha - \pi) + 2\sin(\pi - \alpha) = 0$.

Преобразуем левую часть равенства.

1. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\text{tg}(\alpha - 5\pi) = \text{tg}(\alpha)$.

2. По формуле приведения: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ (II четверть, косинус отрицателен).

3. Преобразуем $\sin(-\alpha - \pi)$: $\sin(-(\alpha + \pi)) = -\sin(\alpha + \pi)$. По формуле приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$ (III четверть, синус отрицателен). Значит, $-\sin(\alpha + \pi) = -(-\sin\alpha) = \sin\alpha$.

4. По формуле приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (II четверть, синус положителен).

Подставим упрощенные выражения в левую часть равенства:

$3\text{tg}(\alpha) \cdot (-\cos\alpha) + \sin\alpha + 2\sin\alpha$

Заменим тангенс на отношение синуса к косинусу: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$-3 \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha + \sin\alpha + 2\sin\alpha$

При условии, что $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $\cos\alpha \neq 0$, поэтому можно сократить:

$-3\sin\alpha + \sin\alpha + 2\sin\alpha = -3\sin\alpha + 3\sin\alpha = 0$

Левая часть равна правой (0). Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

1177. Упростите выражение:

а) $\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha;$

б) $\sin^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha.$

а)

Рассмотрим выражение $ \sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha $.

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $ \cos^2 \alpha $:

$ \sin^4 \alpha + \cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha + 1) $

Этот путь не ведет к упрощению. Попробуем сгруппировать первые два слагаемых и вынести за скобки $ \sin^2 \alpha $:

$ \sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Выражение примет вид:

$ \sin^2 \alpha \cdot 1 + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $

Снова применяем основное тригонометрическое тождество:

$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $

Ответ: 1.

б)

Рассмотрим выражение $ \sin^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha $.

Это выражение является полным квадратом. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $.

В данном случае пусть $ a = \sin^2 \alpha $ и $ b = \cos^2 \alpha $. Тогда:

$ a^2 = (\sin^2 \alpha)^2 = \sin^4 \alpha $

$ b^2 = (\cos^2 \alpha)^2 = \cos^4 \alpha $

$ 2ab = 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $

Следовательно, исходное выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$ \sin^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получаем:

$ (1)^2 = 1 $

Ответ: 1.