Страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1132. Крайние члены конечной геометрической прогрессии равны $15$ и $240$. Знаменатель этой прогрессии равен $0.5$. Сколько членов в этой прогрессии?

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_n$ — n-й член прогрессии, $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов.

По условию, знаменатель прогрессии $q = 0,5$. Так как знаменатель меньше единицы ($q<1$), прогрессия является убывающей. Это означает, что первый член прогрессии должен быть больше последнего. Следовательно, крайние члены прогрессии — это первый член $b_1 = 240$ и последний член $b_n = 15$.

Подставим известные значения в формулу:

$15 = 240 \cdot (0,5)^{n-1}$

Чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на 240:

$(0,5)^{n-1} = \frac{15}{240}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{15}{240} = \frac{1}{16}$

Теперь уравнение выглядит так:

$(0,5)^{n-1} = \frac{1}{16}$

Представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Заметим, что $0,5 = \frac{1}{2}$ и $16 = 2^4$, следовательно, $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = (\frac{1}{2})^4$.

Получаем уравнение:

$(\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^4$

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$n - 1 = 4$

Отсюда находим $n$:

$n = 4 + 1 = 5$

Таким образом, в данной геометрической прогрессии 5 членов.

Ответ: 5

1133. Найдите сумму членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 3, а крайние члены равны 20 и 131 220.

Для нахождения суммы членов конечной геометрической прогрессии ($b_n$) можно использовать формулу, которая связывает сумму ($S_n$), первый член ($b_1$), последний член ($b_n$) и знаменатель прогрессии ($q$):$$ S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1} $$Эта формула удобна тем, что не требует предварительного нахождения количества членов прогрессии.

По условию задачи нам даны все необходимые значения:

• знаменатель прогрессии $q = 3$;
• первый (крайний) член $b_1 = 20$;
• последний (крайний) член $b_n = 131220$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления суммы:$$ S_n = \frac{131220 \cdot 3 - 20}{3 - 1} $$

Выполним пошаговые вычисления:

1. Вычислим произведение в числителе:$$ 131220 \cdot 3 = 393660 $$

2. Вычтем из результата первый член:$$ 393660 - 20 = 393640 $$

3. Вычислим знаменатель:$$ 3 - 1 = 2 $$

4. Найдем итоговую сумму, разделив числитель на знаменатель:$$ S_n = \frac{393640}{2} = 196820 $$

Таким образом, сумма членов данной конечной геометрической прогрессии составляет 196820.

Ответ: 196820

1134. Первый член конечной геометрической прогрессии равен 7, знаменатель равен 4. Найдите последний член прогрессии, если сумма всех её членов равна 9555.

Обозначим данные величины:
$b_1$ – первый член геометрической прогрессии,
$q$ – её знаменатель,
$S_n$ – сумма всех $n$ членов,
$b_n$ – последний член прогрессии.

По условию задачи имеем:

$b_1 = 7$

$q = 4$

$S_n = 9555$

Для нахождения последнего члена прогрессии $b_n$ удобно использовать формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии, выраженную через её первый и последний члены:

$S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$9555 = \frac{b_n \cdot 4 - 7}{4 - 1}$

Выполним вычитание в знаменателе:

$9555 = \frac{4b_n - 7}{3}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b_n$. Для этого умножим обе части уравнения на 3:

$9555 \cdot 3 = 4b_n - 7$

$28665 = 4b_n - 7$

Перенесем -7 в левую часть уравнения, поменяв знак на противоположный:

$28665 + 7 = 4b_n$

$28672 = 4b_n$

Чтобы найти $b_n$, разделим обе части уравнения на 4:

$b_n = \frac{28672}{4}$

$b_n = 7168$

Ответ: 7168.

1135. Найдите последний член конечной геометрической прогрессии, если известно, что сумма первых двух членов равна 4, разность этих же членов равна 2, число членов прогрессии равно 8.

Обозначим члены конечной геометрической прогрессии как $b_n$. По условию задачи нам даны следующие сведения:
Сумма первых двух членов равна 4: $b_1 + b_2 = 4$.
Разность этих же членов равна 2: $b_1 - b_2 = 2$.
Число членов прогрессии равно 8: $n = 8$.

Для нахождения первого ($b_1$) и второго ($b_2$) членов прогрессии решим систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} b_1 + b_2 = 4 \\ b_1 - b_2 = 2 \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения системы:
$(b_1 + b_2) + (b_1 - b_2) = 4 + 2$
$2b_1 = 6$
$b_1 = 3$
Теперь подставим найденное значение $b_1=3$ в первое уравнение, чтобы найти $b_2$:
$3 + b_2 = 4$
$b_2 = 4 - 3$
$b_2 = 1$

Теперь, зная первые два члена, мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии $q$. Знаменатель прогрессии - это отношение последующего члена к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{3}$

Нам нужно найти последний, то есть восьмой член прогрессии ($b_8$). Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим наши значения $b_1 = 3$, $q = \frac{1}{3}$ и $n=8$:
$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^7$
$b_8 = 3 \cdot \frac{1^7}{3^7} = 3 \cdot \frac{1}{3^7} = \frac{3}{3^7} = \frac{1}{3^6}$
Вычислим значение $3^6$:
$3^6 = 729$
Следовательно, последний член прогрессии равен:
$b_8 = \frac{1}{729}$
Ответ: $\frac{1}{729}$

1136. Знаменатель конечной геометрической прогрессии, состоящей из семи членов, равен 2, сумма всех членов равна 635.

Найдите последний член прогрессии.

Обозначим искомые параметры геометрической прогрессии: $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель, $n$ — количество членов, $S_n$ — сумма $n$ членов, $b_n$ — n-й член прогрессии.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
- количество членов $n = 7$;
- знаменатель $q = 2$;
- сумма всех членов $S_7 = 635$.

Требуется найти последний, седьмой член прогрессии, то есть $b_7$.

Для решения задачи сначала найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим в нее известные нам значения:
$635 = \frac{b_1(2^7 - 1)}{2 - 1}$

Выполним вычисления в правой части уравнения:
$2^7 = 128$
$635 = \frac{b_1(128 - 1)}{1}$
$635 = b_1 \cdot 127$

Теперь найдем $b_1$:
$b_1 = \frac{635}{127} = 5$

Зная первый член прогрессии $b_1 = 5$, мы можем найти последний (седьмой) член $b_7$, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим значения для $n=7$:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$

Теперь подставим числовые значения $b_1 = 5$ и $q = 2$:
$b_7 = 5 \cdot 2^6$
$b_7 = 5 \cdot 64$
$b_7 = 320$

Ответ: 320

1137. Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из шести членов, равен 768, последний член прогрессии меньше четвёртого в 16 раз. Найдите сумму всех членов прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $(b_n)$, состоящая из $n=6$ членов.По условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = 768$.Последний, шестой член прогрессии ($b_6$), меньше четвёртого ($b_4$) в 16 раз. Это можно записать в виде уравнения:$b_4 = 16 \cdot b_6$

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.Выразим четвёртый и шестой члены прогрессии через $b_1$ и $q$:$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

Подставим эти выражения в наше уравнение $b_4 = 16 \cdot b_6$:$b_1 \cdot q^3 = 16 \cdot (b_1 \cdot q^5)$Так как $b_1 = 768 \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$:$q^3 = 16 \cdot q^5$Перенесём все члены в одну сторону и решим уравнение относительно $q$:$16q^5 - q^3 = 0$$q^3(16q^2 - 1) = 0$Это уравнение имеет три возможных решения для $q$:1. $q^3 = 0 \implies q = 0$2. $16q^2 - 1 = 0 \implies q^2 = \frac{1}{16} \implies q = \frac{1}{4}$ или $q = -\frac{1}{4}$

Рассмотрим каждый из возможных вариантов:

• Если $q=0$, то члены прогрессии, начиная со второго, равны нулю. $b_4 = 768 \cdot 0^3 = 0$ и $b_6 = 768 \cdot 0^5 = 0$. В этом случае $b_4=b_6$, что противоречит условию "последний член ... меньше четвёртого".
• Если $q = -\frac{1}{4}$, то $b_4 = 768 \cdot (-\frac{1}{4})^3 = 768 \cdot (-\frac{1}{64}) = -12$. А $b_6 = 768 \cdot (-\frac{1}{4})^5 = 768 \cdot (-\frac{1}{1024}) = -\frac{768}{1024} = -\frac{3}{4}$. В этом случае $b_6 > b_4$ (так как $-0.75 > -12$), что также противоречит условию "последний член ... меньше четвёртого".
• Если $q = \frac{1}{4}$, то $b_4 = 768 \cdot (\frac{1}{4})^3 = 768 \cdot \frac{1}{64} = 12$. А $b_6 = 768 \cdot (\frac{1}{4})^5 = 768 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{3}{4}$. В этом случае $b_6 < b_4$ (так как $0.75 < 12$) и $b_4 / b_6 = 12 / (\frac{3}{4}) = 16$. Этот вариант полностью удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{4}$.

Теперь найдём сумму всех шести членов прогрессии ($S_6$). Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$Подставим известные значения: $b_1=768$, $q=\frac{1}{4}$, $n=6$.$S_6 = \frac{768 \cdot (1 - (\frac{1}{4})^6)}{1 - \frac{1}{4}}$$S_6 = \frac{768 \cdot (1 - \frac{1}{4096})}{\frac{3}{4}}$$S_6 = \frac{768 \cdot (\frac{4096-1}{4096})}{\frac{3}{4}}$$S_6 = \frac{768 \cdot \frac{4095}{4096}}{\frac{3}{4}}$$S_6 = 768 \cdot \frac{4095}{4096} \cdot \frac{4}{3}$Сократим дроби:$S_6 = \frac{768}{3} \cdot \frac{4095}{4096} \cdot 4 = 256 \cdot \frac{4095}{4096} \cdot 4$$S_6 = \frac{256 \cdot 4}{4096} \cdot 4095 = \frac{1024}{4096} \cdot 4095 = \frac{1}{4} \cdot 4095$$S_6 = \frac{4095}{4} = 1023.75$

Ответ: 1023.75

1138. Первый член конечной геометрической прогрессии равен $\frac{3}{4}$, последние два члена равны соответственно 750 и 7500. Найдите число членов прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член конечной геометрической прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — число её членов.

По условию задачи нам даны:
Первый член прогрессии: $b_1 = \frac{3}{4}$.
Предпоследний член прогрессии: $b_{n-1} = 750$.
Последний член прогрессии: $b_n = 7500$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. По определению геометрической прогрессии, каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на знаменатель: $b_n = b_{n-1} \cdot q$.

Подставим известные значения последних двух членов:
$7500 = 750 \cdot q$

Отсюда выразим и вычислим $q$:
$q = \frac{7500}{750} = 10$

Теперь, зная первый член $b_1$, знаменатель $q$ и последний член $b_n$, мы можем найти общее число членов прогрессии $n$ по формуле n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения в эту формулу:
$7500 = \frac{3}{4} \cdot 10^{n-1}$

Решим полученное уравнение относительно $n$.
Умножим обе части уравнения на 4:
$7500 \cdot 4 = 3 \cdot 10^{n-1}$
$30000 = 3 \cdot 10^{n-1}$

Разделим обе части на 3:
$\frac{30000}{3} = 10^{n-1}$
$10000 = 10^{n-1}$

Представим число 10000 как степень числа 10: $10000 = 10^4$.
$10^4 = 10^{n-1}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$4 = n - 1$

Отсюда находим $n$:
$n = 4 + 1 = 5$

Следовательно, в данной геометрической прогрессии 5 членов.

Ответ: 5

1139. Первый член конечной геометрической прогрессии равен 1, последний равен 64, сумма всех членов равна 127. Найдите число членов прогрессии.

Обозначим данные конечной геометрической прогрессии: $b_1$ — первый член, $b_n$ — последний (n-й) член, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — число членов, $S_n$ — сумма всех членов.

По условию задачи имеем:

• $b_1 = 1$
• $b_n = 64$
• $S_n = 127$

Требуется найти $n$.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии, выраженной через первый и последний члены:

$S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$

Эта формула справедлива при $q \neq 1$. Если бы $q=1$, то все члены прогрессии были бы равны первому, то есть $b_1 = b_n = 1$. Но по условию $b_n = 64$, что противоречит данному предположению. Значит, $q \neq 1$.

Подставим известные значения в формулу для суммы, чтобы найти знаменатель $q$:

$127 = \frac{64 \cdot q - 1}{q - 1}$

Решим полученное уравнение:

$127(q - 1) = 64q - 1$

$127q - 127 = 64q - 1$

$127q - 64q = 127 - 1$

$63q = 126$

$q = \frac{126}{63}$

$q = 2$

Теперь, зная знаменатель прогрессии $q=2$, используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим известные значения $b_1=1$, $b_n=64$ и $q=2$:

$64 = 1 \cdot 2^{n-1}$

$64 = 2^{n-1}$

Чтобы решить это показательное уравнение, представим 64 как степень числа 2. Известно, что $2^6 = 64$.

$2^6 = 2^{n-1}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$6 = n - 1$

$n = 6 + 1$

$n = 7$

Таким образом, в прогрессии 7 членов.

Ответ: 7

1140. Двенадцатый член геометрической прогрессии равен $b_{12} = 1536$, четвёртый член равен $b_4 = 6$. Найдите сумму первых одиннадцати членов этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи нам даны двенадцатый и четвёртый члены прогрессии:

$b_{12} = b_1 \cdot q^{12-1} = b_1 \cdot q^{11} = 1536$

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 6$

Для того чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим двенадцатый член на четвёртый:

$\frac{b_{12}}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^{11}}{b_1 \cdot q^3} = q^{11-3} = q^8$

Подставим известные значения:

$q^8 = \frac{1536}{6} = 256$

Уравнение $q^8 = 256$ имеет два действительных корня, так как $2^8 = 256$:

$q_1 = 2$ и $q_2 = -2$.

Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условию. Мы должны рассмотреть оба случая для нахождения суммы первых одиннадцати членов $S_{11}$.

Случай 1: $q = 2$

Найдем первый член $b_1$, используя значение $b_4 = 6$:

$b_1 \cdot q^3 = 6 \implies b_1 \cdot 2^3 = 6 \implies b_1 \cdot 8 = 6$

$b_1 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Теперь найдем сумму первых одиннадцати членов по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_{11} = \frac{\frac{3}{4}(2^{11} - 1)}{2 - 1} = \frac{3}{4}(2048 - 1) = \frac{3}{4} \cdot 2047 = \frac{6141}{4} = 1535.25$

Случай 2: $q = -2$

Найдем первый член $b_1$, используя значение $b_4 = 6$:

$b_1 \cdot q^3 = 6 \implies b_1 \cdot (-2)^3 = 6 \implies b_1 \cdot (-8) = 6$

$b_1 = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$

Теперь найдем сумму первых одиннадцати членов:

$S_{11} = \frac{-\frac{3}{4}((-2)^{11} - 1)}{-2 - 1} = \frac{-\frac{3}{4}(-2048 - 1)}{-3} = \frac{-\frac{3}{4}(-2049)}{-3} = \frac{2049}{4} \cdot \frac{1}{-3} = -\frac{683}{4} = -512.25$

Задача имеет два возможных решения, так как оба набора параметров ($b_1$ и $q$) удовлетворяют исходным условиям.

Ответ: 1535.25 или -512.25.

1141. В геометрической прогрессии седьмой член равен 27, десятый член равен 729. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии.

Пусть $b_n$ — n-й член геометрической прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — знаменатель.

По условию задачи даны седьмой и десятый члены прогрессии:

$b_7 = 27$

$b_{10} = 729$

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Используя эту формулу, можно выразить данные члены прогрессии:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6 = 27$

$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = b_1 \cdot q^9 = 729$

Для нахождения знаменателя прогрессии $q$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{b_{10}}{b_7} = \frac{b_1 \cdot q^9}{b_1 \cdot q^6} = q^{9-6} = q^3$

Подставим известные значения:

$q^3 = \frac{729}{27} = 27$

Отсюда находим значение $q$:

$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$. Для этого подставим найденное значение $q$ в формулу для седьмого члена:

$b_1 \cdot q^6 = 27$

$b_1 \cdot 3^6 = 27$

$b_1 \cdot 729 = 27$

$b_1 = \frac{27}{729} = \frac{1}{27}$

Для нахождения суммы первых десяти членов прогрессии $S_{10}$ воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим $n=10$, $b_1 = \frac{1}{27}$ и $q = 3$:

$S_{10} = \frac{\frac{1}{27}(3^{10} - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{27}(3^{10} - 1)}{2} = \frac{3^{10} - 1}{54}$

Вычислим значение $3^{10}$:

$3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для суммы:

$S_{10} = \frac{59049 - 1}{54} = \frac{59048}{54}$

Сократим полученную дробь на 2:

$S_{10} = \frac{29524}{27}$

Для удобства можно представить ответ в виде смешанного числа. Разделив 29524 на 27, получим 1093 и остаток 13.

$S_{10} = 1093\frac{13}{27}$

Ответ: $\frac{29524}{27}$ (или $1093\frac{13}{27}$).

1142. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, в которой сумма первых двух членов равна 16, а сумма пятого и шестого членов равна 1296.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель — как $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, сумма первых двух членов равна 16. Запишем это в виде уравнения:

$b_1 + b_2 = 16$

$b_1 + b_1 \cdot q = 16$

$b_1(1 + q) = 16$

Также по условию, сумма пятого и шестого членов равна 1296. Запишем второе уравнение:

$b_5 + b_6 = 1296$

$b_1 q^{5-1} + b_1 q^{6-1} = 1296$

$b_1 q^4 + b_1 q^5 = 1296$

$b_1 q^4(1 + q) = 1296$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} b_1(1 + q) = 16 \\ b_1 q^4(1 + q) = 1296 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Это можно сделать, так как из первого уравнения $b_1(1+q)=16 \neq 0$, что означает, что ни $b_1$, ни $(1+q)$ не равны нулю.

$\frac{b_1 q^4(1 + q)}{b_1(1 + q)} = \frac{1296}{16}$

Сократив общие множители в левой части, получим:

$q^4 = 81$

Чтобы найти $q$, нужно извлечь корень четвертой степени из 81. Так как степень четная, уравнение имеет два действительных корня:

$q = \sqrt[4]{81}$

$q_1 = 3$

$q_2 = -3$

Оба значения являются решением задачи. Проверим их:

1. Если $q = 3$, то из первого уравнения $b_1(1+3) = 16$, откуда $4b_1 = 16$ и $b_1 = 4$. Тогда сумма пятого и шестого членов: $b_5 + b_6 = 4 \cdot 3^4 + 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 81 + 4 \cdot 243 = 324 + 972 = 1296$. Это соответствует условию.

2. Если $q = -3$, то из первого уравнения $b_1(1-3) = 16$, откуда $-2b_1 = 16$ и $b_1 = -8$. Тогда сумма пятого и шестого членов: $b_5 + b_6 = (-8) \cdot (-3)^4 + (-8) \cdot (-3)^5 = (-8) \cdot 81 + (-8) \cdot (-243) = -648 + 1944 = 1296$. Это также соответствует условию.

Ответ: $3$ или $-3$.

1143. Запишите первые восемь членов геометрической прогрессии, в которой произведение первых двух членов равно $\frac{1}{3}$, а произведение первого и пятого членов равно $\frac{1}{64}$.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда $n$-й член прогрессии определяется формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи даны два соотношения:
1. Произведение первых двух членов равно $\frac{1}{3}$.
2. Произведение первого и пятого членов равно $\frac{1}{64}$.

Запишем эти условия в виде системы уравнений:
$b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{3}$
$b_1 \cdot b_5 = \frac{1}{64}$

Выразим $b_2$ и $b_5$ через $b_1$ и $q$:
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_5 = b_1 \cdot q^4$

Подставим эти выражения в систему уравнений:
$b_1 \cdot (b_1 \cdot q) = b_1^2 q = \frac{1}{3}$
$b_1 \cdot (b_1 \cdot q^4) = b_1^2 q^4 = \frac{1}{64}$

Для решения этой системы разделим второе уравнение на первое. Это позволит нам найти знаменатель прогрессии $q$:
$\frac{b_1^2 q^4}{b_1^2 q} = \frac{1/64}{1/3}$
$q^3 = \frac{1}{64} \cdot 3 = \frac{3}{64}$

Отсюда находим значение $q$:
$q = \sqrt[3]{\frac{3}{64}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{4}$

Теперь, зная $q$, найдем $b_1$. Подставим значение $q$ в первое уравнение $b_1^2 q = \frac{1}{3}$:
$b_1^2 \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{1}{3}$
$b_1^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{\sqrt[3]{3}} = \frac{4}{3 \cdot 3^{1/3}} = \frac{4}{3^{4/3}}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $b_1$:
$b_1 = \pm \sqrt{\frac{4}{3^{4/3}}} = \pm \frac{2}{(3^{4/3})^{1/2}} = \pm \frac{2}{3^{2/3}} = \pm \frac{2}{\sqrt[3]{9}}$

Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Найдем первые восемь членов для каждой из них.

Случай 1: $b_1 = \frac{2}{\sqrt[3]{9}}$
$b_1 = \frac{2}{\sqrt[3]{9}}$
$b_2 = b_1 q = \frac{2}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{2 \cdot 3^{1/3}}{3^{2/3} \cdot 4} = \frac{1}{2 \cdot 3^{1/3}} = \frac{1}{2\sqrt[3]{3}}$
$b_3 = b_2 q = \frac{1}{2\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{1}{8}$
$b_4 = b_3 q = \frac{1}{8} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{\sqrt[3]{3}}{32}$
$b_5 = b_4 q = \frac{\sqrt[3]{3}}{32} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{\sqrt[3]{9}}{128}$
$b_6 = b_5 q = \frac{\sqrt[3]{9}}{128} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{3}{512}$
$b_7 = b_6 q = \frac{3}{512} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{2048}$
$b_8 = b_7 q = \frac{3\sqrt[3]{3}}{2048} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{3\sqrt[3]{9}}{8192}$

Случай 2: $b_1 = -\frac{2}{\sqrt[3]{9}}$
Так как знаменатель $q$ положителен, все члены этой прогрессии будут отрицательными. Их модули будут такими же, как и в первом случае.
$b_1 = -\frac{2}{\sqrt[3]{9}}$
$b_2 = -\frac{1}{2\sqrt[3]{3}}$
$b_3 = -\frac{1}{8}$
$b_4 = -\frac{\sqrt[3]{3}}{32}$
$b_5 = -\frac{\sqrt[3]{9}}{128}$
$b_6 = -\frac{3}{512}$
$b_7 = -\frac{3\sqrt[3]{3}}{2048}$
$b_8 = -\frac{3\sqrt[3]{9}}{8192}$

Ответ:Существуют две такие прогрессии.
Первая последовательность: $\frac{2}{\sqrt[3]{9}}, \frac{1}{2\sqrt[3]{3}}, \frac{1}{8}, \frac{\sqrt[3]{3}}{32}, \frac{\sqrt[3]{9}}{128}, \frac{3}{512}, \frac{3\sqrt[3]{3}}{2048}, \frac{3\sqrt[3]{9}}{8192}$.
Вторая последовательность: $-\frac{2}{\sqrt[3]{9}}, -\frac{1}{2\sqrt[3]{3}}, -\frac{1}{8}, -\frac{\sqrt[3]{3}}{32}, -\frac{\sqrt[3]{9}}{128}, -\frac{3}{512}, -\frac{3\sqrt[3]{3}}{2048}, -\frac{3\sqrt[3]{9}}{8192}$.