Номер 1142, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1142. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, в которой сумма первых двух членов равна 16, а сумма пятого и шестого членов равна 1296.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель — как $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, сумма первых двух членов равна 16. Запишем это в виде уравнения:

$b_1 + b_2 = 16$

$b_1 + b_1 \cdot q = 16$

$b_1(1 + q) = 16$

Также по условию, сумма пятого и шестого членов равна 1296. Запишем второе уравнение:

$b_5 + b_6 = 1296$

$b_1 q^{5-1} + b_1 q^{6-1} = 1296$

$b_1 q^4 + b_1 q^5 = 1296$

$b_1 q^4(1 + q) = 1296$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} b_1(1 + q) = 16 \\ b_1 q^4(1 + q) = 1296 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Это можно сделать, так как из первого уравнения $b_1(1+q)=16 \neq 0$, что означает, что ни $b_1$, ни $(1+q)$ не равны нулю.

$\frac{b_1 q^4(1 + q)}{b_1(1 + q)} = \frac{1296}{16}$

Сократив общие множители в левой части, получим:

$q^4 = 81$

Чтобы найти $q$, нужно извлечь корень четвертой степени из 81. Так как степень четная, уравнение имеет два действительных корня:

$q = \sqrt[4]{81}$

$q_1 = 3$

$q_2 = -3$

Оба значения являются решением задачи. Проверим их:

1. Если $q = 3$, то из первого уравнения $b_1(1+3) = 16$, откуда $4b_1 = 16$ и $b_1 = 4$. Тогда сумма пятого и шестого членов: $b_5 + b_6 = 4 \cdot 3^4 + 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 81 + 4 \cdot 243 = 324 + 972 = 1296$. Это соответствует условию.

2. Если $q = -3$, то из первого уравнения $b_1(1-3) = 16$, откуда $-2b_1 = 16$ и $b_1 = -8$. Тогда сумма пятого и шестого членов: $b_5 + b_6 = (-8) \cdot (-3)^4 + (-8) \cdot (-3)^5 = (-8) \cdot 81 + (-8) \cdot (-243) = -648 + 1944 = 1296$. Это также соответствует условию.

Ответ: $3$ или $-3$.