Номер 1147, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1147. Найдите формулу общего члена арифметической прогрессии $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$, если известно, что:

а) $a_1 = 5, a_2 = -5;$

б) $a_1 = -3, a_2 = 0;$

в) $a_1 = 6, a_{10} = 33;$

г) $a_4 = -4, a_{17} = -17.$

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — разность прогрессии.

а) Дано: $a_1 = 5$, $a_2 = -5$.

Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = -5 - 5 = -10$.

Первый член прогрессии $a_1 = 5$ известен. Теперь подставим значения $a_1$ и $d$ в общую формулу:

$a_n = 5 + (n-1)(-10)$

$a_n = 5 - 10n + 10$

$a_n = 15 - 10n$

Ответ: $a_n = 15 - 10n$.

б) Дано: $a_1 = -3$, $a_2 = 0$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 0 - (-3) = 3$.

Первый член $a_1 = -3$ известен. Подставим значения $a_1$ и $d$ в общую формулу:

$a_n = -3 + (n-1)3$

$a_n = -3 + 3n - 3$

$a_n = 3n - 6$

Ответ: $a_n = 3n - 6$.

в) Дано: $a_1 = 6$, $a_{10} = 33$.

Используем формулу для десятого члена прогрессии $a_{10} = a_1 + (10-1)d$, чтобы найти разность $d$.

Подставим известные значения:

$33 = 6 + 9d$

$9d = 33 - 6$

$9d = 27$

$d = 3$

Теперь, зная $a_1 = 6$ и $d = 3$, запишем формулу общего члена:

$a_n = 6 + (n-1)3$

$a_n = 6 + 3n - 3$

$a_n = 3n + 3$

Ответ: $a_n = 3n + 3$.

г) Дано: $a_4 = -4$, $a_{17} = -17$.

Выразим данные члены прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_{17} = a_1 + (17-1)d = a_1 + 16d$

Получим систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a_1 + 3d = -4 \\ a_1 + 16d = -17 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:

$(a_1 + 16d) - (a_1 + 3d) = -17 - (-4)$

$13d = -13$

$d = -1$

Теперь подставим найденное значение $d = -1$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 3(-1) = -4$

$a_1 - 3 = -4$

$a_1 = -1$

Наконец, подставим $a_1 = -1$ и $d = -1$ в общую формулу:

$a_n = -1 + (n-1)(-1)$

$a_n = -1 - n + 1$

$a_n = -n$

Ответ: $a_n = -n$.