Номер 1153, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1153. Найдите все числа $x$, удовлетворяющие следующему условию: $1 + 7 + 13 + \dots + x = 280.$

В левой части уравнения представлена сумма членов арифметической прогрессии. Определим её параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = 1$.

Разность прогрессии $d$ — это разница между последующим и предыдущим членами: $d = 7 - 1 = 6$.

Число $x$ является последним, n-м членом этой прогрессии ($a_n = x$), а сумма этих $n$ членов по условию равна $S_n = 280$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим в неё известные значения, чтобы выразить $x$ через $n$:
$x = 1 + (n-1) \cdot 6$
$x = 1 + 6n - 6$
$x = 6n - 5$

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$. Подставим в неё известные значения:
$280 = \frac{(1 + x) \cdot n}{2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$280 = \frac{(1 + (6n - 5)) \cdot n}{2}$
$280 = \frac{(6n - 4) \cdot n}{2}$
$280 = (3n - 2) \cdot n$
$3n^2 - 2n - 280 = 0$

Мы получили квадратное уравнение для нахождения $n$. Решим его с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-280) = 4 + 3360 = 3364$.
$\sqrt{D} = \sqrt{3364} = 58$.

Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 58}{2 \cdot 3} = \frac{60}{6} = 10$.
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 58}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$.

Поскольку количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только корень $n = 10$.

Теперь, зная, что в сумме 10 членов, мы можем найти $x$, который является 10-м членом прогрессии ($a_{10}$):
$x = 6n - 5 = 6 \cdot 10 - 5 = 60 - 5 = 55$.

Ответ: $x=55$.