Номер 1155, страница 290 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1155. a) Сумма второго и девятого членов арифметической прогрессии равна 10. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

б) Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 16. Найдите сумму первых одиннадцати членов этой прогрессии.

а)

Пусть $a_n$ — заданная арифметическая прогрессия. Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, а $a_n$ — n-й член прогрессии.

Нам нужно найти сумму первых десяти членов, то есть $S_{10}$: $S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10$.

Для арифметической прогрессии справедливо свойство: сумма членов, равноотстоящих от концов, постоянна. То есть, если $k + l = m + p$, то $a_k + a_l = a_m + a_p$. В нашем случае для членов $a_1, a_2, a_9, a_{10}$ имеем $1 + 10 = 11$ и $2 + 9 = 11$. Следовательно, $a_1 + a_{10} = a_2 + a_9$.

По условию задачи, сумма второго и девятого членов равна 10: $a_2 + a_9 = 10$. Это означает, что $a_1 + a_{10}$ также равно 10.

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для $S_{10}$: $S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{10}{2} \cdot 10 = 5 \cdot 10 = 50$.

Ответ: 50

б)

Аналогично пункту а), используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Нам нужно найти сумму первых одиннадцати членов, то есть $S_{11}$: $S_{11} = \frac{a_1 + a_{11}}{2} \cdot 11$.

Используем свойство равноотстоящих членов. Для членов $a_1, a_3, a_9, a_{11}$ имеем $1 + 11 = 12$ и $3 + 9 = 12$. Следовательно, $a_1 + a_{11} = a_3 + a_9$.

По условию задачи, сумма третьего и девятого членов равна 16: $a_3 + a_9 = 16$. Это означает, что $a_1 + a_{11}$ также равно 16.

Подставим найденное значение в формулу для $S_{11}$: $S_{11} = \frac{a_1 + a_{11}}{2} \cdot 11 = \frac{16}{2} \cdot 11 = 8 \cdot 11 = 88$.

Ответ: 88