Номер 1150, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1150. Найдите четыре числа $b_1, b_2, b_3, b_4$, если известно, что числа $b_2, b_3, b_4$ образуют конечную геометрическую прогрессию, а числа $b_1, b_2, b_3$ образуют конечную арифметическую прогрессию и $b_1 + b_4 = 37, b_2 + b_3 = 36$.

Согласно условию задачи, нам нужно найти четыре числа $b_1, b_2, b_3, b_4$.

Известно, что числа $b_2, b_3, b_4$ образуют конечную геометрическую прогрессию. Пусть ее знаменатель равен $q$. Тогда для этих чисел справедливо характеристическое свойство геометрической прогрессии: $b_3^2 = b_2 \cdot b_4$.

Числа $b_1, b_2, b_3$ образуют конечную арифметическую прогрессию. Пусть ее разность равна $d$. Для этих чисел справедливо характеристическое свойство арифметической прогрессии: $2b_2 = b_1 + b_3$.

Также из условия даны два равенства:
1) $b_1 + b_4 = 37$
2) $b_2 + b_3 = 36$

Для решения задачи составим систему уравнений. Из свойства арифметической прогрессии выразим $b_1$:
$b_1 = 2b_2 - b_3$.

Из свойства геометрической прогрессии выразим $b_4$ (при условии, что $b_2 \neq 0$):
$b_4 = \frac{b_3^2}{b_2}$.
Заметим, что $b_2$ не может быть равно нулю, так как если $b_2=0$, то из равенства (2) следует $b_3=36$. Но тогда для членов геометрической прогрессии $b_3=b_2 \cdot q$ мы получили бы $36 = 0 \cdot q$, что невозможно. Следовательно, $b_2 \neq 0$.

Подставим полученные выражения для $b_1$ и $b_4$ в равенство (1):
$(2b_2 - b_3) + \frac{b_3^2}{b_2} = 37$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $b_2$ и $b_3$:
$b_2 + b_3 = 36$
$2b_2 - b_3 + \frac{b_3^2}{b_2} = 37$

Из первого уравнения выразим $b_3 = 36 - b_2$ и подставим во второе уравнение:
$2b_2 - (36 - b_2) + \frac{(36 - b_2)^2}{b_2} = 37$

Упростим полученное уравнение:
$3b_2 - 36 + \frac{1296 - 72b_2 + b_2^2}{b_2} = 37$

Умножим все члены уравнения на $b_2$, чтобы избавиться от дроби:
$3b_2^2 - 36b_2 + 1296 - 72b_2 + b_2^2 = 37b_2$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение относительно $b_2$:
$4b_2^2 - 108b_2 + 1296 - 37b_2 = 0$
$4b_2^2 - 145b_2 + 1296 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-145)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1296 = 21025 - 16 \cdot 1296 = 21025 - 20736 = 289$
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Найдем корни уравнения:
$b_{2,1} = \frac{145 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{162}{8} = \frac{81}{4}$
$b_{2,2} = \frac{145 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{128}{8} = 16$

Мы получили два возможных значения для $b_2$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $b_2 = 16$

Найдем $b_3$ из уравнения $b_2 + b_3 = 36$:
$b_3 = 36 - 16 = 20$.

Так как $b_1, b_2, b_3$ — арифметическая прогрессия ($b_1, 16, 20$), найдем ее разность $d = b_3 - b_2 = 20 - 16 = 4$.
Тогда первый член $b_1 = b_2 - d = 16 - 4 = 12$.

Так как $b_2, b_3, b_4$ — геометрическая прогрессия ($16, 20, b_4$), найдем ее знаменатель $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.
Тогда четвертый член $b_4 = b_3 \cdot q = 20 \cdot \frac{5}{4} = 25$.

В этом случае мы получили набор чисел: $b_1 = 12, b_2 = 16, b_3 = 20, b_4 = 25$.
Проверка: $b_1 + b_4 = 12 + 25 = 37$ (верно), $b_2 + b_3 = 16 + 20 = 36$ (верно).

Случай 2: $b_2 = \frac{81}{4}$

Найдем $b_3$ из уравнения $b_2 + b_3 = 36$:
$b_3 = 36 - \frac{81}{4} = \frac{144}{4} - \frac{81}{4} = \frac{63}{4}$.

Так как $b_1, b_2, b_3$ — арифметическая прогрессия ($b_1, \frac{81}{4}, \frac{63}{4}$), найдем ее разность $d = b_3 - b_2 = \frac{63}{4} - \frac{81}{4} = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$.
Тогда первый член $b_1 = b_2 - d = \frac{81}{4} - (-\frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{18}{4} = \frac{99}{4}$.

Так как $b_2, b_3, b_4$ — геометрическая прогрессия ($\frac{81}{4}, \frac{63}{4}, b_4$), найдем ее знаменатель $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{63/4}{81/4} = \frac{63}{81} = \frac{7}{9}$.
Тогда четвертый член $b_4 = b_3 \cdot q = \frac{63}{4} \cdot \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 7}{4} = \frac{49}{4}$.

В этом случае мы получили набор чисел: $b_1 = \frac{99}{4}, b_2 = \frac{81}{4}, b_3 = \frac{63}{4}, b_4 = \frac{49}{4}$.
Проверка: $b_1 + b_4 = \frac{99}{4} + \frac{49}{4} = \frac{148}{4} = 37$ (верно), $b_2 + b_3 = \frac{81}{4} + \frac{63}{4} = \frac{144}{4} = 36$ (верно).

Таким образом, существуют два набора чисел, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: Искомые числа могут быть одним из двух наборов: $12, 16, 20, 25$ или $\frac{99}{4}, \frac{81}{4}, \frac{63}{4}, \frac{49}{4}$.