Номер 1143, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1143. Запишите первые восемь членов геометрической прогрессии, в которой произведение первых двух членов равно $\frac{1}{3}$, а произведение первого и пятого членов равно $\frac{1}{64}$.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда $n$-й член прогрессии определяется формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи даны два соотношения:
1. Произведение первых двух членов равно $\frac{1}{3}$.
2. Произведение первого и пятого членов равно $\frac{1}{64}$.

Запишем эти условия в виде системы уравнений:
$b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{3}$
$b_1 \cdot b_5 = \frac{1}{64}$

Выразим $b_2$ и $b_5$ через $b_1$ и $q$:
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_5 = b_1 \cdot q^4$

Подставим эти выражения в систему уравнений:
$b_1 \cdot (b_1 \cdot q) = b_1^2 q = \frac{1}{3}$
$b_1 \cdot (b_1 \cdot q^4) = b_1^2 q^4 = \frac{1}{64}$

Для решения этой системы разделим второе уравнение на первое. Это позволит нам найти знаменатель прогрессии $q$:
$\frac{b_1^2 q^4}{b_1^2 q} = \frac{1/64}{1/3}$
$q^3 = \frac{1}{64} \cdot 3 = \frac{3}{64}$

Отсюда находим значение $q$:
$q = \sqrt[3]{\frac{3}{64}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{4}$

Теперь, зная $q$, найдем $b_1$. Подставим значение $q$ в первое уравнение $b_1^2 q = \frac{1}{3}$:
$b_1^2 \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{1}{3}$
$b_1^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{\sqrt[3]{3}} = \frac{4}{3 \cdot 3^{1/3}} = \frac{4}{3^{4/3}}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $b_1$:
$b_1 = \pm \sqrt{\frac{4}{3^{4/3}}} = \pm \frac{2}{(3^{4/3})^{1/2}} = \pm \frac{2}{3^{2/3}} = \pm \frac{2}{\sqrt[3]{9}}$

Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Найдем первые восемь членов для каждой из них.

Случай 1: $b_1 = \frac{2}{\sqrt[3]{9}}$
$b_1 = \frac{2}{\sqrt[3]{9}}$
$b_2 = b_1 q = \frac{2}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{2 \cdot 3^{1/3}}{3^{2/3} \cdot 4} = \frac{1}{2 \cdot 3^{1/3}} = \frac{1}{2\sqrt[3]{3}}$
$b_3 = b_2 q = \frac{1}{2\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{1}{8}$
$b_4 = b_3 q = \frac{1}{8} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{\sqrt[3]{3}}{32}$
$b_5 = b_4 q = \frac{\sqrt[3]{3}}{32} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{\sqrt[3]{9}}{128}$
$b_6 = b_5 q = \frac{\sqrt[3]{9}}{128} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{3}{512}$
$b_7 = b_6 q = \frac{3}{512} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{2048}$
$b_8 = b_7 q = \frac{3\sqrt[3]{3}}{2048} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{3\sqrt[3]{9}}{8192}$

Случай 2: $b_1 = -\frac{2}{\sqrt[3]{9}}$
Так как знаменатель $q$ положителен, все члены этой прогрессии будут отрицательными. Их модули будут такими же, как и в первом случае.
$b_1 = -\frac{2}{\sqrt[3]{9}}$
$b_2 = -\frac{1}{2\sqrt[3]{3}}$
$b_3 = -\frac{1}{8}$
$b_4 = -\frac{\sqrt[3]{3}}{32}$
$b_5 = -\frac{\sqrt[3]{9}}{128}$
$b_6 = -\frac{3}{512}$
$b_7 = -\frac{3\sqrt[3]{3}}{2048}$
$b_8 = -\frac{3\sqrt[3]{9}}{8192}$

Ответ:Существуют две такие прогрессии.
Первая последовательность: $\frac{2}{\sqrt[3]{9}}, \frac{1}{2\sqrt[3]{3}}, \frac{1}{8}, \frac{\sqrt[3]{3}}{32}, \frac{\sqrt[3]{9}}{128}, \frac{3}{512}, \frac{3\sqrt[3]{3}}{2048}, \frac{3\sqrt[3]{9}}{8192}$.
Вторая последовательность: $-\frac{2}{\sqrt[3]{9}}, -\frac{1}{2\sqrt[3]{3}}, -\frac{1}{8}, -\frac{\sqrt[3]{3}}{32}, -\frac{\sqrt[3]{9}}{128}, -\frac{3}{512}, -\frac{3\sqrt[3]{3}}{2048}, -\frac{3\sqrt[3]{9}}{8192}$.