Номер 1140, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1140. Двенадцатый член геометрической прогрессии равен $b_{12} = 1536$, четвёртый член равен $b_4 = 6$. Найдите сумму первых одиннадцати членов этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи нам даны двенадцатый и четвёртый члены прогрессии:

$b_{12} = b_1 \cdot q^{12-1} = b_1 \cdot q^{11} = 1536$

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 6$

Для того чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим двенадцатый член на четвёртый:

$\frac{b_{12}}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^{11}}{b_1 \cdot q^3} = q^{11-3} = q^8$

Подставим известные значения:

$q^8 = \frac{1536}{6} = 256$

Уравнение $q^8 = 256$ имеет два действительных корня, так как $2^8 = 256$:

$q_1 = 2$ и $q_2 = -2$.

Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условию. Мы должны рассмотреть оба случая для нахождения суммы первых одиннадцати членов $S_{11}$.

Случай 1: $q = 2$

Найдем первый член $b_1$, используя значение $b_4 = 6$:

$b_1 \cdot q^3 = 6 \implies b_1 \cdot 2^3 = 6 \implies b_1 \cdot 8 = 6$

$b_1 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Теперь найдем сумму первых одиннадцати членов по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_{11} = \frac{\frac{3}{4}(2^{11} - 1)}{2 - 1} = \frac{3}{4}(2048 - 1) = \frac{3}{4} \cdot 2047 = \frac{6141}{4} = 1535.25$

Случай 2: $q = -2$

Найдем первый член $b_1$, используя значение $b_4 = 6$:

$b_1 \cdot q^3 = 6 \implies b_1 \cdot (-2)^3 = 6 \implies b_1 \cdot (-8) = 6$

$b_1 = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$

Теперь найдем сумму первых одиннадцати членов:

$S_{11} = \frac{-\frac{3}{4}((-2)^{11} - 1)}{-2 - 1} = \frac{-\frac{3}{4}(-2048 - 1)}{-3} = \frac{-\frac{3}{4}(-2049)}{-3} = \frac{2049}{4} \cdot \frac{1}{-3} = -\frac{683}{4} = -512.25$

Задача имеет два возможных решения, так как оба набора параметров ($b_1$ и $q$) удовлетворяют исходным условиям.

Ответ: 1535.25 или -512.25.