Номер 1141, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1141. В геометрической прогрессии седьмой член равен 27, десятый член равен 729. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии.

Пусть $b_n$ — n-й член геометрической прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — знаменатель.

По условию задачи даны седьмой и десятый члены прогрессии:

$b_7 = 27$

$b_{10} = 729$

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Используя эту формулу, можно выразить данные члены прогрессии:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6 = 27$

$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = b_1 \cdot q^9 = 729$

Для нахождения знаменателя прогрессии $q$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{b_{10}}{b_7} = \frac{b_1 \cdot q^9}{b_1 \cdot q^6} = q^{9-6} = q^3$

Подставим известные значения:

$q^3 = \frac{729}{27} = 27$

Отсюда находим значение $q$:

$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$. Для этого подставим найденное значение $q$ в формулу для седьмого члена:

$b_1 \cdot q^6 = 27$

$b_1 \cdot 3^6 = 27$

$b_1 \cdot 729 = 27$

$b_1 = \frac{27}{729} = \frac{1}{27}$

Для нахождения суммы первых десяти членов прогрессии $S_{10}$ воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим $n=10$, $b_1 = \frac{1}{27}$ и $q = 3$:

$S_{10} = \frac{\frac{1}{27}(3^{10} - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{27}(3^{10} - 1)}{2} = \frac{3^{10} - 1}{54}$

Вычислим значение $3^{10}$:

$3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для суммы:

$S_{10} = \frac{59049 - 1}{54} = \frac{59048}{54}$

Сократим полученную дробь на 2:

$S_{10} = \frac{29524}{27}$

Для удобства можно представить ответ в виде смешанного числа. Разделив 29524 на 27, получим 1093 и остаток 13.

$S_{10} = 1093\frac{13}{27}$

Ответ: $\frac{29524}{27}$ (или $1093\frac{13}{27}$).