Номер 1137, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1137. Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из шести членов, равен 768, последний член прогрессии меньше четвёртого в 16 раз. Найдите сумму всех членов прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $(b_n)$, состоящая из $n=6$ членов.По условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = 768$.Последний, шестой член прогрессии ($b_6$), меньше четвёртого ($b_4$) в 16 раз. Это можно записать в виде уравнения:$b_4 = 16 \cdot b_6$

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.Выразим четвёртый и шестой члены прогрессии через $b_1$ и $q$:$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

Подставим эти выражения в наше уравнение $b_4 = 16 \cdot b_6$:$b_1 \cdot q^3 = 16 \cdot (b_1 \cdot q^5)$Так как $b_1 = 768 \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$:$q^3 = 16 \cdot q^5$Перенесём все члены в одну сторону и решим уравнение относительно $q$:$16q^5 - q^3 = 0$$q^3(16q^2 - 1) = 0$Это уравнение имеет три возможных решения для $q$:1. $q^3 = 0 \implies q = 0$2. $16q^2 - 1 = 0 \implies q^2 = \frac{1}{16} \implies q = \frac{1}{4}$ или $q = -\frac{1}{4}$

Рассмотрим каждый из возможных вариантов:

• Если $q=0$, то члены прогрессии, начиная со второго, равны нулю. $b_4 = 768 \cdot 0^3 = 0$ и $b_6 = 768 \cdot 0^5 = 0$. В этом случае $b_4=b_6$, что противоречит условию "последний член ... меньше четвёртого".
• Если $q = -\frac{1}{4}$, то $b_4 = 768 \cdot (-\frac{1}{4})^3 = 768 \cdot (-\frac{1}{64}) = -12$. А $b_6 = 768 \cdot (-\frac{1}{4})^5 = 768 \cdot (-\frac{1}{1024}) = -\frac{768}{1024} = -\frac{3}{4}$. В этом случае $b_6 > b_4$ (так как $-0.75 > -12$), что также противоречит условию "последний член ... меньше четвёртого".
• Если $q = \frac{1}{4}$, то $b_4 = 768 \cdot (\frac{1}{4})^3 = 768 \cdot \frac{1}{64} = 12$. А $b_6 = 768 \cdot (\frac{1}{4})^5 = 768 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{3}{4}$. В этом случае $b_6 < b_4$ (так как $0.75 < 12$) и $b_4 / b_6 = 12 / (\frac{3}{4}) = 16$. Этот вариант полностью удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{4}$.

Теперь найдём сумму всех шести членов прогрессии ($S_6$). Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$Подставим известные значения: $b_1=768$, $q=\frac{1}{4}$, $n=6$.$S_6 = \frac{768 \cdot (1 - (\frac{1}{4})^6)}{1 - \frac{1}{4}}$$S_6 = \frac{768 \cdot (1 - \frac{1}{4096})}{\frac{3}{4}}$$S_6 = \frac{768 \cdot (\frac{4096-1}{4096})}{\frac{3}{4}}$$S_6 = \frac{768 \cdot \frac{4095}{4096}}{\frac{3}{4}}$$S_6 = 768 \cdot \frac{4095}{4096} \cdot \frac{4}{3}$Сократим дроби:$S_6 = \frac{768}{3} \cdot \frac{4095}{4096} \cdot 4 = 256 \cdot \frac{4095}{4096} \cdot 4$$S_6 = \frac{256 \cdot 4}{4096} \cdot 4095 = \frac{1024}{4096} \cdot 4095 = \frac{1}{4} \cdot 4095$$S_6 = \frac{4095}{4} = 1023.75$

Ответ: 1023.75