Номер 1156, страница 290 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1156. В конечной геометрической прогрессии чётное число членов. Найдите её знаменатель, если:

a) сумма всех членов прогрессии в 4 раза больше суммы её членов, стоящих на нечётных местах;

b) сумма всех членов прогрессии, стоящих на чётных местах, в 2 раза больше суммы её членов, стоящих на нечётных местах.

а)

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \ldots, b_{2n}$ с чётным числом членов $2n$, первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

Сумма всех членов прогрессии $S_{2n}$ равна сумме членов, стоящих на нечётных местах ($S_{нечёт}$), и членов, стоящих на чётных местах ($S_{чёт}$):

$S_{2n} = S_{нечёт} + S_{чёт}$

Выпишем суммы для членов на нечётных и чётных местах:

$S_{нечёт} = b_1 + b_3 + \dots + b_{2n-1} = b_1 + b_1q^2 + \dots + b_1q^{2n-2}$

$S_{чёт} = b_2 + b_4 + \dots + b_{2n} = b_1q + b_1q^3 + \dots + b_1q^{2n-1}$

Заметим, что каждый член, стоящий на чётном месте, можно получить умножением предыдущего члена (стоящего на нечётном месте) на знаменатель $q$. Следовательно, и вся сумма членов на чётных местах в $q$ раз больше суммы членов на нечётных местах:

$S_{чёт} = q \cdot (b_1 + b_1q^2 + \dots + b_1q^{2n-2}) = q \cdot S_{нечёт}$

Теперь выразим общую сумму $S_{2n}$ через $S_{нечёт}$:

$S_{2n} = S_{нечёт} + S_{чёт} = S_{нечёт} + q \cdot S_{нечёт} = S_{нечёт}(1+q)$

По условию задачи, сумма всех членов прогрессии в 4 раза больше суммы её членов, стоящих на нечётных местах, то есть:

$S_{2n} = 4 \cdot S_{нечёт}$

Подставим в это условие полученное нами выражение для $S_{2n}$:

$S_{нечёт}(1+q) = 4 \cdot S_{нечёт}$

Если предположить, что прогрессия нетривиальна (т.е. $b_1 \neq 0$), то и сумма членов на нечётных местах $S_{нечёт}$ не равна нулю (за исключением частных случаев, которые не удовлетворяют условию). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $S_{нечёт}$:

$1+q = 4$

$q = 3$

Ответ: 3.

б)

Используем те же обозначения и выводы, что и в пункте а). Мы установили, что сумма членов на чётных местах ($S_{чёт}$) и сумма членов на нечётных местах ($S_{нечёт}$) связаны соотношением:

$S_{чёт} = q \cdot S_{нечёт}$

По условию этого пункта, сумма всех членов прогрессии, стоящих на чётных местах, в 2 раза больше суммы её членов, стоящих на нечётных местах:

$S_{чёт} = 2 \cdot S_{нечёт}$

Приравнивая правые части двух полученных выражений для $S_{чёт}$, имеем:

$q \cdot S_{нечёт} = 2 \cdot S_{нечёт}$

Так как $S_{нечёт} \neq 0$ для нетривиальной прогрессии, мы можем сократить обе части уравнения на $S_{нечёт}$ и получить значение знаменателя $q$:

$q = 2$

Ответ: 2.