Номер 1128, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1128. Запишите первые 11 членов геометрической прогрессии, если известно, что её знаменатель равен 1,5, а шестой член равен 2.

Пусть искомая геометрическая прогрессия обозначается как $b_n$. Согласно условию задачи, знаменатель прогрессии $q = 1,5$, а шестой член $b_6 = 2$. Наша цель — найти первые 11 членов этой прогрессии: $b_1, b_2, \dots, b_{11}$.

Для решения задачи будем использовать свойство геометрической прогрессии, согласно которому каждый следующий член можно найти, умножив предыдущий на знаменатель $q$, а каждый предыдущий член — разделив последующий на $q$.

Поскольку нам известен шестой член $b_6 = 2$, мы можем найти все последующие члены до одиннадцатого включительно, последовательно умножая на $q=1,5$.

Вычисление членов с $b_7$ по $b_{11}$:
$b_7 = b_6 \cdot q = 2 \cdot 1,5 = 3$
$b_8 = b_7 \cdot q = 3 \cdot 1,5 = 4,5$
$b_9 = b_8 \cdot q = 4,5 \cdot 1,5 = 6,75$
$b_{10} = b_9 \cdot q = 6,75 \cdot 1,5 = 10,125$
$b_{11} = b_{10} \cdot q = 10,125 \cdot 1,5 = 15,1875$

Теперь найдем члены с первого по пятый, последовательно деля на знаменатель $q = 1,5$. Для удобства вычислений представим $1,5$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$. Деление на $\frac{3}{2}$ эквивалентно умножению на $\frac{2}{3}$.

Вычисление членов с $b_1$ по $b_5$:
$b_5 = \frac{b_6}{q} = \frac{2}{1,5} = 2 : \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
$b_4 = \frac{b_5}{q} = \frac{4}{3} : \frac{3}{2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$
$b_3 = \frac{b_4}{q} = \frac{8}{9} : \frac{3}{2} = \frac{8}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{27}$
$b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{16}{27} : \frac{3}{2} = \frac{16}{27} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{81}$
$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{32}{81} : \frac{3}{2} = \frac{32}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{64}{243}$

Теперь запишем все найденные члены в одну последовательность.

Ответ: Первые 11 членов геометрической прогрессии: $\frac{64}{243}$; $\frac{32}{81}$; $\frac{16}{27}$; $\frac{8}{9}$; $\frac{4}{3}$; $2$; $3$; $4,5$; $6,75$; $10,125$; $15,1875$.