Страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1051. Исследуем. Для каких значений a уравнение:

а) $x^2 - x + a = 0;$

б) $x^2 + x - a = 0;$

в) $x^2 - 4x + a = 0;$

г) $x^2 + ax + 4 = 0$

имеет два корня, один корень, не имеет корней?

Количество действительных корней квадратного уравнения вида $Ax^2+Bx+C=0$ определяется знаком его дискриминанта $D = B^2 - 4AC$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два равных корня).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Применим это правило для каждого из данных уравнений.

Для этого уравнения коэффициенты равны: $A=1$, $B=-1$, $C=a$.
Вычислим дискриминант: $D = B^2 - 4AC = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 1 - 4a$.

1. Уравнение имеет два корня, когда $D > 0$:
$1 - 4a > 0$
$1 > 4a$
$a < \frac{1}{4}$

2. Уравнение имеет один корень, когда $D = 0$:
$1 - 4a = 0$
$4a = 1$
$a = \frac{1}{4}$

3. Уравнение не имеет корней, когда $D < 0$:
$1 - 4a < 0$
$1 < 4a$
$a > \frac{1}{4}$

Ответ: два корня при $a < \frac{1}{4}$; один корень при $a = \frac{1}{4}$; не имеет корней при $a > \frac{1}{4}$.

Коэффициенты: $A=1$, $B=1$, $C=-a$.
Дискриминант: $D = B^2 - 4AC = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a$.

1. Два корня при $D > 0$:
$1 + 4a > 0$
$4a > -1$
$a > -\frac{1}{4}$

2. Один корень при $D = 0$:
$1 + 4a = 0$
$4a = -1$
$a = -\frac{1}{4}$

3. Нет корней при $D < 0$:
$1 + 4a < 0$
$4a < -1$
$a < -\frac{1}{4}$

Ответ: два корня при $a > -\frac{1}{4}$; один корень при $a = -\frac{1}{4}$; не имеет корней при $a < -\frac{1}{4}$.

Коэффициенты: $A=1$, $B=-4$, $C=a$.
Дискриминант: $D = B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$.

1. Два корня при $D > 0$:
$16 - 4a > 0$
$16 > 4a$
$4 > a$, или $a < 4$

2. Один корень при $D = 0$:
$16 - 4a = 0$
$16 = 4a$
$a = 4$

3. Нет корней при $D < 0$:
$16 - 4a < 0$
$16 < 4a$
$4 < a$, или $a > 4$

Ответ: два корня при $a < 4$; один корень при $a = 4$; не имеет корней при $a > 4$.

Коэффициенты: $A=1$, $B=a$, $C=4$.
Дискриминант: $D = B^2 - 4AC = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$.

1. Два корня при $D > 0$:
$a^2 - 16 > 0$
$a^2 > 16$
Это неравенство выполняется, если $a < -4$ или $a > 4$, что можно записать как $a \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.

2. Один корень при $D = 0$:
$a^2 - 16 = 0$
$a^2 = 16$
$a = -4$ или $a = 4$.

3. Нет корней при $D < 0$:
$a^2 - 16 < 0$
$a^2 < 16$
Это неравенство выполняется, если $-4 < a < 4$, что можно записать как $a \in (-4, 4)$.

Ответ: два корня при $a \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$; один корень при $a = -4$ или $a = 4$; не имеет корней при $a \in (-4, 4)$.

Решите графическим способом систему уравнений (1052—1057):

1052. a) $\begin{cases} 2x + y = 4, \\ x - y = -1, \\ y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 2, \\ -2x + y = 5, \\ 2x + 3y = 7. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему уравнений графическим способом, необходимо построить графики для каждого уравнения в одной системе координат и найти точку их пересечения.

Система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - y = -1 \\ y = 2 \end{cases} $

1. Преобразуем первое уравнение $2x + y = 4$ к виду функции $y(x)$:

$y = -2x + 4$

Это уравнение прямой. Для построения найдем две точки:

• При $x = 0$, $y = -2(0) + 4 = 4$. Точка (0; 4).
• При $x = 2$, $y = -2(2) + 4 = 0$. Точка (2; 0).

2. Преобразуем второе уравнение $x - y = -1$ к виду функции $y(x)$:

$y = x + 1$

Это также уравнение прямой. Найдем две точки:

• При $x = 0$, $y = 0 + 1 = 1$. Точка (0; 1).
• При $x = 1$, $y = 1 + 1 = 2$. Точка (1; 2).

3. Третье уравнение $y = 2$ уже задает прямую.

Это горизонтальная прямая, проходящая через все точки, у которых ордината (координата y) равна 2.

Теперь построим все три графика в одной системе координат. Точка, в которой пересекаются все три прямые, является решением системы.

Из графиков видно, что все три прямые пересекаются в одной точке с координатами (1; 2).

Проверим, подставив эти значения в каждое уравнение системы:

1. $2(1) + 2 = 2 + 2 = 4$. Верно.
2. $1 - 2 = -1$. Верно.
3. $y = 2$. Верно.

Так как координаты точки (1; 2) удовлетворяют всем трем уравнениям, эта точка является решением системы.

Ответ: (1; 2).

б)

Решим графически систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 2 \\ -2x + y = 5 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} $

1. Преобразуем первое уравнение $x + y = 2$:

$y = -x + 2$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• При $x = 0$, $y = 2$. Точка (0; 2).
• При $x = 2$, $y = 0$. Точка (2; 0).

2. Преобразуем второе уравнение $-2x + y = 5$:

$y = 2x + 5$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• При $x = 0$, $y = 5$. Точка (0; 5).
• При $x = -1$, $y = 2(-1) + 5 = 3$. Точка (-1; 3).

3. Преобразуем третье уравнение $2x + 3y = 7$:

$3y = -2x + 7$

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• При $x = -1$, $y = -\frac{2}{3}(-1) + \frac{7}{3} = \frac{2}{3} + \frac{7}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Точка (-1; 3).
• При $x = 2$, $y = -\frac{2}{3}(2) + \frac{7}{3} = -\frac{4}{3} + \frac{7}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Точка (2; 1).

Построим графики всех трех прямых в одной системе координат. Точка их общего пересечения будет решением системы.

Из графиков видно, что все три прямые пересекаются в точке (-1; 3).

Выполним проверку, подставив $x = -1$ и $y = 3$ в каждое уравнение:

1. $-1 + 3 = 2$. Верно.
2. $-2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$. Верно.
3. $2(-1) + 3(3) = -2 + 9 = 7$. Верно.

Координаты точки (-1; 3) удовлетворяют всем трем уравнениям, следовательно, это решение системы.

Ответ: (-1; 3).

1053. a) $\begin{cases} xy = -6, \\ y = -x^2 + 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^2 - 4, \\ xy = 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy = -6 \\ y = -x^2 + 5 \end{cases} $$ Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $$ x(-x^2 + 5) = -6 $$ Раскроем скобки и преобразуем уравнение: $$ -x^3 + 5x = -6 $$ $$ x^3 - 5x - 6 = 0 $$ Мы получили кубическое уравнение относительно переменной $x$. Решения этого уравнения будут являться x-координатами решений системы.

Попробуем найти целые корни этого уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена, то есть числа -6. Возможные целые корни: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 $.

Проверим эти значения:

• При $x=1$: $1^3 - 5(1) - 6 = 1 - 5 - 6 = -10 \neq 0$
• При $x=-1$: $(-1)^3 - 5(-1) - 6 = -1 + 5 - 6 = -2 \neq 0$
• При $x=2$: $2^3 - 5(2) - 6 = 8 - 10 - 6 = -8 \neq 0$
• При $x=-2$: $(-2)^3 - 5(-2) - 6 = -8 + 10 - 6 = -4 \neq 0$
• При $x=3$: $3^3 - 5(3) - 6 = 27 - 15 - 6 = 6 \neq 0$
• При $x=-3$: $(-3)^3 - 5(-3) - 6 = -27 + 15 - 6 = -18 \neq 0$

Целых корней у уравнения нет. Чтобы определить количество действительных корней, исследуем функцию $f(x) = x^3 - 5x - 6$ с помощью производной.

Найдем производную: $$ f'(x) = 3x^2 - 5 $$ Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: $$ 3x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = \frac{5}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} $$ Найдем значения функции в точках экстремума:

• Локальный максимум в точке $x = -\sqrt{\frac{5}{3}}$: $f(-\sqrt{\frac{5}{3}}) = (-\sqrt{\frac{5}{3}})^3 - 5(-\sqrt{\frac{5}{3}}) - 6 = -\frac{5}{3}\sqrt{\frac{5}{3}} + 5\sqrt{\frac{5}{3}} - 6 = \frac{10}{3}\sqrt{\frac{5}{3}} - 6$. Так как $ (\frac{10}{3}\sqrt{\frac{5}{3}})^2 = \frac{100}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{500}{27} \approx 18.5 $, а $6^2 = 36$, то $\frac{10}{3}\sqrt{\frac{5}{3}} < 6$, следовательно, значение в точке максимума отрицательно.
• Локальный минимум в точке $x = \sqrt{\frac{5}{3}}$: $f(\sqrt{\frac{5}{3}}) = (\sqrt{\frac{5}{3}})^3 - 5(\sqrt{\frac{5}{3}}) - 6 = \frac{5}{3}\sqrt{\frac{5}{3}} - 5\sqrt{\frac{5}{3}} - 6 = -\frac{10}{3}\sqrt{\frac{5}{3}} - 6 < 0$.

Поскольку оба экстремума функции отрицательны, а при $x \to \infty$ функция $f(x) \to \infty$, то кубическое уравнение имеет только один действительный корень. Найдем отрезок, на котором находится этот корень: $$ f(2) = 2^3 - 5(2) - 6 = 8 - 10 - 6 = -8 $$ $$ f(3) = 3^3 - 5(3) - 6 = 27 - 15 - 6 = 6 $$ Так как на концах отрезка $[2, 3]$ функция принимает значения разных знаков, единственный корень $x_0$ находится на этом отрезке: $2 < x_0 < 3$.

Таким образом, система имеет единственное решение $(x_0, y_0)$, где $x_0$ - иррациональный корень уравнения $x^3 - 5x - 6 = 0$, а $y_0 = -x_0^2 + 5$. Найти точное значение корня можно с помощью специальных формул (например, Кардано), что выходит за рамки школьной программы.

Ответ: система имеет одно действительное решение $(x_0, y_0)$, где $x_0$ - единственный действительный корень уравнения $x^3 - 5x - 6 = 0$, $x_0 \approx 2.68$, $y_0 = -6/x_0 \approx -2.24$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = x^2 - 4 \\ xy = 4 \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе: $$ x(x^2 - 4) = 4 $$ Раскроем скобки и преобразуем: $$ x^3 - 4x = 4 $$ $$ x^3 - 4x - 4 = 0 $$ Мы получили кубическое уравнение. Его действительные корни будут x-координатами решений системы.

Проверим, есть ли у уравнения целые корни. Возможные целые корни - делители свободного члена -4: $ \pm 1, \pm 2, \pm 4 $.

• При $x=1$: $1^3 - 4(1) - 4 = 1 - 4 - 4 = -7 \neq 0$
• При $x=-1$: $(-1)^3 - 4(-1) - 4 = -1 + 4 - 4 = -1 \neq 0$
• При $x=2$: $2^3 - 4(2) - 4 = 8 - 8 - 4 = -4 \neq 0$
• При $x=-2$: $(-2)^3 - 4(-2) - 4 = -8 + 8 - 4 = -4 \neq 0$

Целых корней нет. Исследуем функцию $h(x) = x^3 - 4x - 4$ на количество действительных корней.

Найдем производную: $$ h'(x) = 3x^2 - 4 $$ Точки экстремума: $$ 3x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} $$ Найдем значения функции в точках экстремума:

• Локальный максимум в точке $x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$: $h(-\frac{2}{\sqrt{3}}) = (-\frac{2}{\sqrt{3}})^3 - 4(-\frac{2}{\sqrt{3}}) - 4 = -\frac{8}{3\sqrt{3}} + \frac{8}{\sqrt{3}} - 4 = \frac{16}{3\sqrt{3}} - 4$. Так как $(\frac{16}{3\sqrt{3}})^2 = \frac{256}{27} \approx 9.48$, а $4^2 = 16$, то $\frac{16}{3\sqrt{3}} < 4$. Значение в точке максимума отрицательно.
• Локальный минимум в точке $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$: $h(\frac{2}{\sqrt{3}}) = (\frac{2}{\sqrt{3}})^3 - 4(\frac{2}{\sqrt{3}}) - 4 = \frac{8}{3\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}} - 4 = -\frac{16}{3\sqrt{3}} - 4 < 0$.

Оба экстремума отрицательны. Это означает, что график функции пересекает ось $x$ только один раз. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень. Найдем отрезок, содержащий этот корень: $$ h(2) = 2^3 - 4(2) - 4 = 8 - 8 - 4 = -4 $$ $$ h(3) = 3^3 - 4(3) - 4 = 27 - 12 - 4 = 11 $$ Единственный корень $x_0$ находится на отрезке $[2, 3]$.

Система имеет единственное решение $(x_0, y_0)$, где $x_0$ - иррациональный корень уравнения $x^3 - 4x - 4 = 0$, а $y_0 = 4/x_0$.

Ответ: система имеет одно действительное решение $(x_0, y_0)$, где $x_0$ - единственный действительный корень уравнения $x^3 - 4x - 4 = 0$, $x_0 \approx 2.21$, $y_0 = 4/x_0 \approx 1.81$.

1054. a) $\begin{cases} y = x^2 - 2x - 3, \\ y = |x - 1|; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -x^2 + 5x - 6, \\ y = |x + 1|. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 2x - 3$ и $y = |x - 1|$. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 2x - 3 = |x - 1|$

Это уравнение необходимо решить, рассмотрев два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

В этом случае $|x - 1| = x - 1$, и уравнение принимает вид:

$x^2 - 2x - 3 = x - 1$

$x^2 - 3x - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge 1$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$:

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} > \frac{3 + 4}{2} = 3.5$. Этот корень удовлетворяет условию ($x_1 \ge 1$).

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} < \frac{3 - 4}{2} = -0.5$. Этот корень не удовлетворяет условию.

Теперь найдем соответствующее значение $y$ для $x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$, подставив его в одно из исходных уравнений, например, в $y = |x - 1|$. Так как $x_1 \ge 1$, то $y = x - 1$:

$y_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} - 1 = \frac{3 + \sqrt{17} - 2}{2} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Первая точка пересечения: $(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2})$.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.

В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$, и уравнение принимает вид:

$x^2 - 2x - 3 = 1 - x$

$x^2 - x - 4 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Получаем два корня: $x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ и $x_4 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < 1$:

$x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} > \frac{1 + 4}{2} = 2.5$. Этот корень не удовлетворяет условию.

$x_4 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} < \frac{1 - 4}{2} = -1.5$. Этот корень удовлетворяет условию ($x_4 < 1$).

Найдем соответствующее значение $y$ для $x_4 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$. Так как $x_4 < 1$, то $y = -(x-1) = 1 - x$:

$y_4 = 1 - \frac{1 - \sqrt{17}}{2} = \frac{2 - (1 - \sqrt{17})}{2} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Вторая точка пересечения: $(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2})$.

Ответ: $(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2})$, $(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2})$.

б)

Решим систему уравнений, приравняв правые части:

$-x^2 + 5x - 6 = |x + 1|$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

В этом случае $|x + 1| = x + 1$, и уравнение принимает вид:

$-x^2 + 5x - 6 = x + 1$

$-x^2 + 4x - 7 = 0$

$x^2 - 4x + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. В этом случае решений нет.

Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.

В этом случае $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$, и уравнение принимает вид:

$-x^2 + 5x - 6 = -x - 1$

$-x^2 + 6x - 5 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти разложением на множители:

$(x - 1)(x - 5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < -1$:

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию, так как $1 \not< -1$.

Корень $x_2 = 5$ не удовлетворяет условию, так как $5 \not< -1$.

В этом случае также нет подходящих решений.

Поскольку ни в одном из случаев мы не нашли решений, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

1055. a) $\begin{cases} y = 2x^2 - 1, \\ y = -x^2 - 3x - 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^2 + 5x + 4, \\ y = -x^2 + 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = 2x^2 - 1, \\ y = -x^2 - 3x - 2 \end{cases}$

Для нахождения точек пересечения графиков функций, которые представляют собой параболы, необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем выражения для $y$ из обоих уравнений:

$2x^2 - 1 = -x^2 - 3x - 2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 + x^2 + 3x - 1 + 2 = 0$

$3x^2 + 3x + 1 = 0$

Для решения этого уравнения вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3$

Поскольку дискриминант меньше нуля ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что параболы не пересекаются, и, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 + 5x + 4, \\ y = -x^2 + 6 \end{cases}$

Аналогично предыдущему пункту, приравняем правые части уравнений для нахождения абсцисс точек пересечения:

$x^2 + 5x + 4 = -x^2 + 6$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + x^2 + 5x + 4 - 6 = 0$

$2x^2 + 5x - 2 = 0$

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25 + 16 = 41$

Дискриминант положителен ($D > 0$), поэтому уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{4}$

Таким образом, мы имеем два значения для $x$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{4}$ и $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{4}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в одно из исходных уравнений. Удобнее использовать второе: $y = -x^2 + 6$.

Для $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{4}$:

$y_1 = - \left(\frac{-5 + \sqrt{41}}{4}\right)^2 + 6 = - \frac{(-5)^2 + 2(-5)\sqrt{41} + (\sqrt{41})^2}{16} + 6$

$y_1 = - \frac{25 - 10\sqrt{41} + 41}{16} + 6 = - \frac{66 - 10\sqrt{41}}{16} + \frac{96}{16}$

$y_1 = \frac{-66 + 10\sqrt{41} + 96}{16} = \frac{30 + 10\sqrt{41}}{16} = \frac{15 + 5\sqrt{41}}{8}$

Для $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{4}$:

$y_2 = - \left(\frac{-5 - \sqrt{41}}{4}\right)^2 + 6 = - \frac{(-(5 + \sqrt{41}))^2}{16} + 6 = - \frac{25 + 10\sqrt{41} + 41}{16} + 6$

$y_2 = - \frac{66 + 10\sqrt{41}}{16} + \frac{96}{16} = \frac{-66 - 10\sqrt{41} + 96}{16} = \frac{30 - 10\sqrt{41}}{16} = \frac{15 - 5\sqrt{41}}{8}$

Таким образом, система имеет два решения, которые являются координатами точек пересечения графиков.

Ответ: $(\frac{-5 + \sqrt{41}}{4}; \frac{15 + 5\sqrt{41}}{8})$, $(\frac{-5 - \sqrt{41}}{4}; \frac{15 - 5\sqrt{41}}{8})$.

1056. a) $$\\begin{cases} y = x^2 + 1, \\\\ y = x + 7; \\end{cases}$$

б) $$\\begin{cases} y = -x - 2, \\\\ y = 4 - x^2; \\end{cases}$$

в) $$\\begin{cases} y = x^2 - 1, \\\\ y = 1 - x^2; \\end{cases}$$

г) $$\\begin{cases} y = 2x - 1, \\\\ y = 2x^2 - 1; \\end{cases}$$

д) $$\\begin{cases} y = x^2 - 2x + 1, \\\\ y = \\frac{1}{x}; \\end{cases}$$

е) $$\\begin{cases} y = -x^2, \\\\ y = -\\frac{8}{x}; \\end{cases}$$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 + 1, \\ y = x + 7. \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:

$x^2 + 1 = x + 7$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - x + 1 - 7 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-6$, а сумма равна $1$. Подбором находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$

$x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в одно из исходных уравнений (проще использовать второе, $y = x + 7$):

При $x_1 = 3$: $y_1 = 3 + 7 = 10$.

При $x_2 = -2$: $y_2 = -2 + 7 = 5$.

Таким образом, система имеет два решения: $(3, 10)$ и $(-2, 5)$.

Ответ: $(3, 10)$, $(-2, 5)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = -x - 2, \\ y = 4 - x^2. \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$-x - 2 = 4 - x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 2 - 4 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Получили такое же квадратное уравнение, как и в пункте а). Его корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в первое уравнение $y = -x - 2$:

При $x_1 = 3$: $y_1 = -3 - 2 = -5$.

При $x_2 = -2$: $y_2 = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(3, -5)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: $(3, -5)$, $(-2, 0)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 - 1, \\ y = 1 - x^2. \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 1 = 1 - x^2$

Соберем члены с $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$x^2 + x^2 = 1 + 1$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в первое уравнение $y = x^2 - 1$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

При $x_2 = -1$: $y_2 = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Решениями системы являются пары чисел $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: $(1, 0)$, $(-1, 0)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = 2x - 1, \\ y = 2x^2 - 1. \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$2x - 1 = 2x^2 - 1$

Перенесем все в одну сторону:

$2x^2 - 2x - 1 + 1 = 0$

$2x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

Найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = 2x - 1$:

При $x_1 = 0$: $y_1 = 2(0) - 1 = -1$.

При $x_2 = 1$: $y_2 = 2(1) - 1 = 1$.

Решения системы: $(0, -1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: $(0, -1)$, $(1, 1)$.

д)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 - 2x + 1, \\ y = \frac{1}{x}. \end{cases}$

Заметим, что выражение в первом уравнении является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Приравняем правые части уравнений. Область допустимых значений для $x$ определяется вторым уравнением: $x \ne 0$.

$(x - 1)^2 = \frac{1}{x}$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части на $x$:

$x(x - 1)^2 = 1$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$x(x^2 - 2x + 1) = 1$

$x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$

Получилось кубическое уравнение. Попробуем найти целые или рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если у этого уравнения есть рациональные корни, они должны быть делителями свободного члена, т.е. $1$ или $-1$.

Проверка $x=1$: $1^3 - 2(1)^2 + 1 - 1 = 1 - 2 + 1 - 1 = -1 \ne 0$.

Проверка $x=-1$: $(-1)^3 - 2(-1)^2 - 1 - 1 = -1 - 2 - 1 - 1 = -5 \ne 0$.

Уравнение не имеет рациональных корней. Для нахождения его решения требуются более сложные методы (например, формула Кардано) или численные расчеты, которые обычно не рассматриваются в школьном курсе. Графический анализ показывает, что существует один действительный корень, который является иррациональным числом ($x \approx 1.7549$). Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: Система не имеет решений в рациональных числах. Единственный корень уравнения $x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$ можно найти только численными методами.

е)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = -x^2, \\ y = -\frac{8}{x}. \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, учитывая, что $x \ne 0$:

$-x^2 = -\frac{8}{x}$

Умножим обе части на $-1$:

$x^2 = \frac{8}{x}$

Умножим обе части на $x$:

$x^3 = 8$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=2$ в первое уравнение $y = -x^2$:

$y = -(2)^2 = -4$.

Проверим найденное решение, подставив его во второе уравнение $y = -8/x$:

$-4 = -8/2$, что верно.

Система имеет одно решение.

Ответ: $(2, -4)$.

1057. а) $\begin{cases} xy = 1, \\ y = x^2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = -8, \\ y = x + 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x^2 - 4x - 5, \\ y = -\frac{12}{x}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = |x|, \\ y = \frac{6}{x}. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$\begin{cases}xy = 1 \\y = x^2\end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое, заменив $y$ на $x^2$:
$x \cdot (x^2) = 1$
$x^3 = 1$
Единственным действительным решением этого уравнения является $x = 1$.
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ во второе уравнение:
$y = x^2 = 1^2 = 1$.
Таким образом, решение системы — пара чисел $(1, 1)$.
Проверим, подставив значения в оба уравнения:
$1 \cdot 1 = 1$ (верно)
$1 = 1^2$ (верно)
Ответ: $(1, 1)$.

б)

Дана система уравнений:$\begin{cases}xy = -8 \\y = x + 1\end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x(x + 1) = -8$
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + x = -8$
$x^2 + x + 8 = 0$
Мы получили квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=1, b=1, c=8$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 1 - 32 = -31$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система уравнений не имеет действительных решений.
Ответ: решений нет.

в)

Дана система уравнений:$\begin{cases}y = x^2 - 4x - 5 \\y = -\frac{12}{x}\end{cases}$
Из второго уравнения следует, что $x \neq 0$.
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:
$x^2 - 4x - 5 = -\frac{12}{x}$
Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:
$x(x^2 - 4x - 5) = -12$
$x^3 - 4x^2 - 5x = -12$
$x^3 - 4x^2 - 5x + 12 = 0$
Мы получили кубическое уравнение. Если у него есть рациональные корни, то они должны быть среди делителей свободного члена (12), деленных на делители старшего коэффициента (1). Таким образом, возможные рациональные корни - это целые делители числа 12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.
Проверим подстановкой, является ли какой-либо из этих делителей корнем уравнения $P(x) = x^3 - 4x^2 - 5x + 12 = 0$:
$P(1) = 1^3 - 4(1)^2 - 5(1) + 12 = 1 - 4 - 5 + 12 = 4 \neq 0$
$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 - 5(-1) + 12 = -1 - 4 + 5 + 12 = 12 \neq 0$
$P(2) = 2^3 - 4(2)^2 - 5(2) + 12 = 8 - 16 - 10 + 12 = -6 \neq 0$
$P(-2) = (-2)^3 - 4(-2)^2 - 5(-2) + 12 = -8 - 16 + 10 + 12 = -2 \neq 0$
$P(3) = 3^3 - 4(3)^2 - 5(3) + 12 = 27 - 36 - 15 + 12 = -12 \neq 0$
Проверка всех остальных целых делителей также показывает, что ни один из них не является корнем уравнения.
Это означает, что уравнение не имеет рациональных корней. Решения системы являются иррациональными числами, и их нахождение требует более сложных методов.
Ответ: система не имеет рациональных решений.

г)

Дана система уравнений:$\begin{cases}y = |x| \\y = \frac{6}{x}\end{cases}$
Из второго уравнения следует, что $x \neq 0$.
Подставим первое уравнение во второе:
$|x| = \frac{6}{x}$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x > 0$
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x = \frac{6}{x}$
Умножив обе части на $x$, получим:
$x^2 = 6$
$x = \sqrt{6}$ (корень $x = -\sqrt{6}$ не удовлетворяет условию $x > 0$).
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = |x| = |\sqrt{6}| = \sqrt{6}$.
Получили решение $(\sqrt{6}, \sqrt{6})$.
Случай 2: $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x = \frac{6}{x}$
Умножив обе части на $x$, получим:
$-x^2 = 6$
$x^2 = -6$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, система имеет только одно решение.
Ответ: $(\sqrt{6}, \sqrt{6})$.

1058. Постройте график функции:

а) $y = -\frac{x + 2}{x^2 + 2x}$;

б) $y = \frac{6(x - 3)}{x^2 - 3x}$.

При каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с построенным графиком ни одной общей точки?

а)

1. Чтобы построить график функции $y = -\frac{x+2}{x^2+2x}$, сначала найдем ее область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x^2+2x \neq 0$

$x(x+2) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим формулу функции для всех $x$ из области определения:

$y = -\frac{x+2}{x(x+2)} = -\frac{1}{x}$.

Это означает, что график исходной функции является графиком функции $y = -\frac{1}{x}$ с "выколотой" точкой при $x = -2$.

3. Графиком функции $y = -\frac{1}{x}$ является гипербола. Ее ветви расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: прямая $x=0$ (вертикальная асимптота) и прямая $y=0$ (горизонтальная асимптота).

4. Найдем координаты "выколотой" точки. Для этого подставим $x=-2$ в упрощенную функцию $y = -\frac{1}{x}$:

$y = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, точка с координатами $(-2; \frac{1}{2})$ не принадлежит графику.

5. Теперь найдем значения $m$, при которых прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки. Прямая $y=m$ — это горизонтальная линия. Она не пересечет график в двух случаях:

• Если она совпадает с горизонтальной асимптотой графика, то есть $y=0$. В этом случае $m=0$.
• Если она проходит через "выколотую" точку. Ордината этой точки равна $\frac{1}{2}$. Значит, прямая $y=\frac{1}{2}$ не имеет с графиком общих точек. В этом случае $m=\frac{1}{2}$.

Ответ: $m=0; m=\frac{1}{2}$.

б)

1. Чтобы построить график функции $y = \frac{6(x-3)}{x^2-3x}$, найдем ее область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2-3x \neq 0$

$x(x-3) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции в ее области определения:

$y = \frac{6(x-3)}{x(x-3)} = \frac{6}{x}$.

Таким образом, график исходной функции — это график функции $y = \frac{6}{x}$ с "выколотой" точкой при $x=3$.

3. Графиком функции $y = \frac{6}{x}$ является гипербола. Ее ветви расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: прямая $x=0$ (вертикальная асимптота) и прямая $y=0$ (горизонтальная асимптота).

4. Найдем координаты "выколотой" точки, подставив $x=3$ в упрощенную функцию $y = \frac{6}{x}$:

$y = \frac{6}{3} = 2$.

Значит, точка с координатами $(3; 2)$ не принадлежит графику.

5. Прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек, если она проходит через горизонтальную асимптоту или через "выколотую" точку.

• Горизонтальная асимптота графика — это прямая $y=0$. Следовательно, при $m=0$ пересечения нет.
• Прямая $y=m$ проходит через "выколотую" точку, если ее ордината совпадает с ординатой этой точки, то есть $m=2$.

Ответ: $m=0; m=2$.

1059. Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 6, & \text{если } x \ge 2 \\ 3x, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ 2 - x, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

При каких значениях $m$ прямая $y = m$ пересекает построенный график в двух точках?

Построим график функции $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 6, & \text{если } x \ge 2 \\ 3x, & \text{если } x < 2 \end{cases}$.

1. График функции $y = x^2 - 4x + 6$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = - \frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$; $y_0 = 2^2 - 4(2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$. Вершина находится в точке $(2, 2)$. Поскольку мы строим эту часть графика для $x \ge 2$, наш график — это правая ветвь параболы, начинающаяся в ее вершине. Точка $(2, 2)$ включена в график.

2. График функции $y = 3x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Мы строим эту часть графика для $x < 2$. В граничной точке $x=2$ значение функции было бы $y = 3 \cdot 2 = 6$. Таким образом, эта часть графика — луч, который заканчивается в точке $(2, 6)$, причем сама точка $(2, 6)$ не включается в график (является "выколотой").

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ пересекает построенный график в двух точках. Прямая $y=m$ является горизонтальной прямой. Исследуя построенный график, можно сделать следующие выводы:

— При $m < 2$ прямая пересекает только луч $y=3x$ в одной точке.

— При $m = 2$ прямая касается вершины параболы в точке $(2, 2)$ (первая точка пересечения) и пересекает луч $y=3x$ в точке, где $3x = 2$, то есть $x = 2/3$. Так как $2/3 < 2$, эта точка принадлежит графику (вторая точка пересечения). Таким образом, при $m=2$ есть ровно две точки пересечения.

— При $2 < m < 6$ прямая пересекает и ветвь параболы (одна точка), и луч $y=3x$ (вторая точка). Для прямой $3x=m$ получаем $x=m/3$. Так как $2 < m < 6$, то $2/3 < m/3 < 2$, что удовлетворяет условию $x<2$. Следовательно, в этом интервале у нас ровно две точки пересечения.

— При $m = 6$ прямая пересекает параболу в точке, где $x^2 - 4x + 6 = 6 \implies x(x-4)=0$. Учитывая $x \ge 2$, получаем $x=4$ (одна точка). Для прямой $3x=6 \implies x=2$, но эта точка выколота, так как для луча $x<2$. Итого, только одна точка пересечения.

— При $m > 6$ прямая пересекает только ветвь параболы в одной точке.

Таким образом, прямая $y=m$ пересекает график в двух точках при $m \in [2, 6)$.

Ответ: $m \in [2, 6)$.

Построим график функции $y = \begin{cases} -\frac{3}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ 2-x, & \text{если } x > -1 \end{cases}$.

1. График функции $y = -\frac{3}{x}$ — это гипербола. При $x \le -1$ мы рассматриваем ее ветвь во второй координатной четверти. В граничной точке $x=-1$ имеем $y = -\frac{3}{-1} = 3$. Точка $(-1, 3)$ принадлежит графику. При $x \to -\infty$, значение $y \to 0$. Эта часть графика — кривая, идущая от точки $(-1, 3)$ и асимптотически приближающаяся к оси $Ox$ сверху.

2. График функции $y = 2-x$ — это прямая. Мы строим ее для $x > -1$. В граничной точке $x=-1$ значение было бы $y = 2 - (-1) = 3$. Значит, эта часть графика — луч, начинающийся из точки $(-1, 3)$ (она не включается в этот кусок) и идущий вниз и вправо.

Поскольку значение обеих функций в точке $x=-1$ равно 3, график является непрерывным. Точка $(-1, 3)$ является точкой локального максимума для всей функции, и $y_{max}=3$.

Теперь найдем, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ пересекает построенный график в двух точках. Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от $m$:

— При $m > 3$ пересечений нет, так как максимальное значение функции равно 3.

— При $m = 3$ есть ровно одна точка пересечения — это точка максимума $(-1, 3)$.

— При $0 < m < 3$ прямая $y=m$ пересекает и ветвь гиперболы $y = -3/x$ (так как для $x \le -1$ диапазон значений $y$ есть $(0, 3]$), и луч $y=2-x$ (так как для $x > -1$ диапазон значений $y$ есть $(-\infty, 3)$). Следовательно, в этом интервале будет ровно две точки пересечения.

— При $m \le 0$ прямая $y=m$ пересекает только луч $y=2-x$ в одной точке. Пересечения с ветвью гиперболы нет, так как на интервале $x \le -1$ значения функции $y = -3/x$ всегда положительны.

Таким образом, прямая $y=m$ пересекает график в двух точках при $0 < m < 3$.

Ответ: $m \in (0, 3)$.