Страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

984. Какими числами должны быть $p$ и $q$, чтобы корни уравнения $x^2 + px + q = 0$ были равны $p$ и $q$?

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$. По условию задачи, его корнями являются сами числа $p$ и $q$. Обозначим корни уравнения как $x_1$ и $x_2$. Таким образом, мы имеем $x_1 = p$ и $x_2 = q$.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ по теореме Виета справедливы следующие соотношения между корнями $x_1, x_2$ и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

Применительно к нашему уравнению $x^2 + px + q = 0$, коэффициенты равны $b=p$ и $c=q$. Подставим в формулы Виета значения корней $x_1 = p$ и $x_2 = q$. В результате получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $p$ и $q$:

$ \begin{cases} p + q = -p \\ p \cdot q = q \end{cases} $

Теперь решим полученную систему. Начнем со второго уравнения:

$p \cdot q = q$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$p \cdot q - q = 0$

Вынесем общий множитель $q$ за скобки:

$q(p - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая.

1. Если $q = 0$. Подставим это значение в первое уравнение системы ($p + q = -p$):

$p + 0 = -p$
$2p = 0$
$p = 0$

Таким образом, мы получили первую пару чисел: $p = 0$ и $q = 0$.

2. Если $p - 1 = 0$, то $p = 1$. Подставим это значение в первое уравнение системы ($p + q = -p$):

$1 + q = -1$
$q = -1 - 1$
$q = -2$

Таким образом, мы получили вторую пару чисел: $p = 1$ и $q = -2$.

Мы нашли две возможные пары значений для $p$ и $q$. Необходимо выполнить проверку.

• При $p = 0, q = 0$ уравнение имеет вид $x^2 + 0x + 0 = 0$, или $x^2 = 0$. Его корни $x_1 = 0, x_2 = 0$. Эти значения совпадают с найденными $p=0$ и $q=0$.
• При $p = 1, q = -2$ уравнение имеет вид $x^2 + x - 2 = 0$. Его корни можно найти, например, разложив на множители: $(x+2)(x-1)=0$. Корни уравнения $x_1 = -2, x_2 = 1$. Эти значения совпадают с найденными $p=1$ и $q=-2$.

Оба набора чисел удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $p=0, q=0$ или $p=1, q=-2$.

985. Задача Бхаскары II (1114 – ок.1178). Решите уравнение в целых числах:

$100x + 90 = 63y$

Данное уравнение $100x + 90 = 63y$ является линейным диофантовым уравнением с двумя переменными $x$ и $y$. Для его решения в целых числах перепишем его в виде $100x - 63y = -90$.

Наиболее эффективным методом решения таких уравнений является использование сравнений по модулю. Из исходного уравнения следует, что выражение $100x + 90$ должно быть кратно 63. Запишем это в виде сравнения по модулю 63:

$100x + 90 \equiv 0 \pmod{63}$

Упростим коэффициенты этого сравнения. Найдем остатки от деления 100 и 90 на 63:

$100 = 1 \cdot 63 + 37 \Rightarrow 100 \equiv 37 \pmod{63}$

$90 = 1 \cdot 63 + 27 \Rightarrow 90 \equiv 27 \pmod{63}$

Подставив эти значения в сравнение, получим:

$37x + 27 \equiv 0 \pmod{63}$

Перенесем 27 в правую часть:

$37x \equiv -27 \pmod{63}$

Так как $-27 \equiv -27 + 63 \equiv 36 \pmod{63}$, сравнение принимает вид:

$37x \equiv 36 \pmod{63}$

Для того чтобы найти $x$, нужно умножить обе части сравнения на число, обратное к 37 по модулю 63. Найдем это число с помощью расширенного алгоритма Евклида для чисел 63 и 37.

$63 = 1 \cdot 37 + 26$
$37 = 1 \cdot 26 + 11$
$26 = 2 \cdot 11 + 4$
$11 = 2 \cdot 4 + 3$
$4 = 1 \cdot 3 + 1$

Теперь выразим 1 через 63 и 37, двигаясь по алгоритму в обратном порядке:

$1 = 4 - 1 \cdot 3$
$1 = 4 - 1 \cdot (11 - 2 \cdot 4) = 3 \cdot 4 - 11$
$1 = 3 \cdot (26 - 2 \cdot 11) - 11 = 3 \cdot 26 - 7 \cdot 11$
$1 = 3 \cdot 26 - 7 \cdot (37 - 1 \cdot 26) = 10 \cdot 26 - 7 \cdot 37$
$1 = 10 \cdot (63 - 1 \cdot 37) - 7 \cdot 37 = 10 \cdot 63 - 10 \cdot 37 - 7 \cdot 37$
$1 = 10 \cdot 63 - 17 \cdot 37$

Из полученного равенства $10 \cdot 63 - 17 \cdot 37 = 1$ следует, что $-17 \cdot 37 \equiv 1 \pmod{63}$. Значит, число -17 является обратным к 37 по модулю 63. Умножим обе части сравнения $37x \equiv 36 \pmod{63}$ на -17:

$(-17) \cdot 37x \equiv (-17) \cdot 36 \pmod{63}$

$1 \cdot x \equiv -612 \pmod{63}$

Найдем остаток от деления -612 на 63. Так как $612 = 9 \cdot 63 + 45$, то $-612 = -9 \cdot 63 - 45 = -10 \cdot 63 + 63 - 45 = -10 \cdot 63 + 18$. Следовательно, $-612 \equiv 18 \pmod{63}$.

Таким образом, мы нашли, что $x \equiv 18 \pmod{63}$. Это означает, что $x$ может быть любым целым числом вида:

$x = 18 + 63n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь найдем соответствующее выражение для $y$. Подставим найденное выражение для $x$ в исходное уравнение $100x + 90 = 63y$:

$100(18 + 63n) + 90 = 63y$

$1800 + 6300n + 90 = 63y$

$1890 + 6300n = 63y$

Разделим обе части уравнения на 63:

$y = \frac{1890}{63} + \frac{6300n}{63}$

$y = 30 + 100n$

Таким образом, все целочисленные решения данного уравнения описываются парой формул.

Ответ: $x = 18 + 63n$, $y = 30 + 100n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

986. Может ли биквадратное уравнение иметь один корень? два корня? три корня? В каждом случае, если ответ положителен, приведите примеры.

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$. Для его решения используется замена переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

После замены биквадратное уравнение сводится к квадратному уравнению относительно переменной $t$:

$at^2 + bt + c = 0$

Количество действительных корней исходного биквадратного уравнения зависит от корней $t_1$ и $t_2$ этого квадратного уравнения:

• если корень $t > 0$, то из уравнения $x^2 = t$ мы получаем два различных действительных корня для $x$: $x = \sqrt{t}$ и $x = -\sqrt{t}$.
• если корень $t = 0$, то из уравнения $x^2 = 0$ мы получаем один действительный корень для $x$: $x = 0$.
• если корень $t < 0$, то уравнение $x^2 = t$ не имеет действительных корней.

Рассмотрим каждый случай, заданный в вопросе.

Один корень

Да, биквадратное уравнение может иметь один действительный корень. Это происходит, когда вспомогательное квадратное уравнение для $t$ имеет решения, приводящие в итоге только к одному значению $x=0$. Это возможно в двух сценариях:

1. Квадратное уравнение для $t$ имеет два корня: один равен нулю ($t_1=0$), а другой — отрицательный ($t_2 < 0$).
2. Квадратное уравнение для $t$ имеет единственный корень (дискриминант равен нулю), и этот корень равен нулю ($t_0=0$). Это соответствует уравнению вида $ax^4=0$.

Пример: рассмотрим уравнение $x^4 + 9x^2 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$. Получим квадратное уравнение $t^2 + 9t = 0$.

$t(t+9) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -9$.

Вернемся к переменной $x$:

• Из $t_1 = 0$ следует, что $x^2 = 0$, откуда получаем один корень $x = 0$.
• Корень $t_2 = -9$ является отрицательным, поэтому уравнение $x^2 = -9$ не имеет действительных корней.

Следовательно, уравнение $x^4 + 9x^2 = 0$ имеет ровно один действительный корень.

Ответ: да, может. Например, $x^4 + 9x^2 = 0$.

Два корня

Да, биквадратное уравнение может иметь два действительных корня. Это происходит в следующих случаях:

1. Квадратное уравнение для $t$ имеет два корня: один положительный ($t_1>0$) и один отрицательный ($t_2<0$).
2. Квадратное уравнение для $t$ имеет один-единственный положительный корень ($t_0>0$).

Пример: рассмотрим уравнение $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получим $t^2 - 7t - 18 = 0$.

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4(1)(-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни для $t$: $t_1 = \frac{7+11}{2} = 9$ и $t_2 = \frac{7-11}{2} = -2$.

Вернемся к переменной $x$:

• Из $t_1 = 9$ следует, что $x^2 = 9$, откуда получаем два корня $x = \pm 3$.
• Корень $t_2 = -2$ является отрицательным, поэтому уравнение $x^2 = -2$ не имеет действительных корней.

Следовательно, уравнение $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$ имеет два действительных корня.

Ответ: да, может. Например, $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$.

Три корня

Да, биквадратное уравнение может иметь три действительных корня. Это происходит, когда вспомогательное квадратное уравнение для $t$ имеет два корня: один равен нулю ($t_1=0$), а второй — положительный ($t_2>0$).

Пример: рассмотрим уравнение $x^4 - 16x^2 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получим $t^2 - 16t = 0$.

$t(t-16) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = 16$.

Вернемся к переменной $x$:

• Из $t_1 = 0$ следует, что $x^2 = 0$, откуда получаем один корень $x_1 = 0$.
• Из $t_2 = 16$ следует, что $x^2 = 16$, откуда получаем два корня $x_{2,3} = \pm 4$.

Следовательно, уравнение $x^4 - 16x^2 = 0$ имеет три действительных корня: $-4, 0, 4$.

Ответ: да, может. Например, $x^4 - 16x^2 = 0$.

Решите уравнение (987—1000):

987. a) $|x| = 9;$

б) $|x| = 1,5;$

в) $|x - 1| = 2;$

г) $|x - 2| = 1;$

д) $|x + 3| = 1;$

е) $|x + 1| = 3.$

а) Дано уравнение $|x| = 9$.
По определению, модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = 9$ означает, что расстояние от $x$ до нуля равно 9. Это верно для двух чисел: 9 и -9.
Таким образом, уравнение распадается на два случая:
1) $x = 9$
2) $x = -9$
Оба значения являются корнями уравнения.
Ответ: $-9; 9$.

б) Дано уравнение $|x| = 1,5$.
Аналогично предыдущему пункту, это уравнение означает, что модуль (абсолютная величина) числа $x$ равен 1,5. Этому условию удовлетворяют два числа.
Уравнение равносильно совокупности:
1) $x = 1,5$
2) $x = -1,5$
Оба значения являются решениями.
Ответ: $-1,5; 1,5$.

в) Дано уравнение $|x - 1| = 2$.
Это уравнение означает, что выражение под знаком модуля, то есть $x - 1$, должно быть равно 2 или -2. Рассмотрим оба случая:
1) $x - 1 = 2$. Решая это линейное уравнение, получаем $x = 2 + 1$, откуда $x = 3$.
2) $x - 1 = -2$. Решая это уравнение, получаем $x = -2 + 1$, откуда $x = -1$.
Таким образом, у уравнения два корня.
Ответ: $-1; 3$.

г) Дано уравнение $|x - 2| = 1$.
Уравнение распадается на два возможных случая для подмодульного выражения $x - 2$:
1) $x - 2 = 1$. Находим $x$: $x = 1 + 2$, что дает $x = 3$.
2) $x - 2 = -1$. Находим $x$: $x = -1 + 2$, что дает $x = 1$.
Уравнение имеет два решения.
Ответ: $1; 3$.

д) Дано уравнение $|x + 3| = 1$.
Для решения этого уравнения рассмотрим два варианта, которым может быть равно выражение $x + 3$:
1) $x + 3 = 1$. Отсюда $x = 1 - 3$, то есть $x = -2$.
2) $x + 3 = -1$. Отсюда $x = -1 - 3$, то есть $x = -4$.
Оба найденных значения являются корнями.
Ответ: $-4; -2$.

е) Дано уравнение $|x + 1| = 3$.
Раскрываем модуль, рассматривая два случая для выражения $x + 1$:
1) $x + 1 = 3$. Решаем уравнение: $x = 3 - 1$, получаем $x = 2$.
2) $x + 1 = -3$. Решаем уравнение: $x = -3 - 1$, получаем $x = -4$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-4; 2$.

988. a) $|2x - 1| = 5;$

B) $|7 - 3x| = 4;$

б) $|3x + 2| = 4;$

г) $|-2 - 3x| = 5.$

а)

Уравнение вида $|A| = b$ (где $b \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ и $A = -b$. Применим это правило к уравнению $|2x - 1| = 5$. Оно распадается на два случая:

1) $2x - 1 = 5$

$2x = 5 + 1$

$2x = 6$

$x = \frac{6}{2}$

$x_1 = 3$

2) $2x - 1 = -5$

$2x = -5 + 1$

$2x = -4$

$x = \frac{-4}{2}$

$x_2 = -2$

Ответ: -2; 3.

б)

Решим уравнение $|3x + 2| = 4$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $3x + 2 = 4$

$3x = 4 - 2$

$3x = 2$

$x_1 = \frac{2}{3}$

2) $3x + 2 = -4$

$3x = -4 - 2$

$3x = -6$

$x = \frac{-6}{3}$

$x_2 = -2$

Ответ: -2; $\frac{2}{3}$.

в)

Решим уравнение $|7 - 3x| = 4$. Раскрываем модуль, рассматривая два возможных случая:

1) $7 - 3x = 4$

$-3x = 4 - 7$

$-3x = -3$

$x = \frac{-3}{-3}$

$x_1 = 1$

2) $7 - 3x = -4$

$-3x = -4 - 7$

$-3x = -11$

$x = \frac{-11}{-3}$

$x_2 = \frac{11}{3}$

Ответ: 1; $\frac{11}{3}$.

г)

Решим уравнение $|-2 - 3x| = 5$. Воспользуемся свойством модуля $|-a| = |a|$. Тогда $|-2 - 3x| = |-(2 + 3x)| = |2 + 3x|$. Уравнение принимает вид $|2 + 3x| = 5$. Это уравнение распадается на два:

1) $2 + 3x = 5$

$3x = 5 - 2$

$3x = 3$

$x = \frac{3}{3}$

$x_1 = 1$

2) $2 + 3x = -5$

$3x = -5 - 2$

$3x = -7$

$x_2 = -\frac{7}{3}$

Ответ: $-\frac{7}{3}$; 1.

989. a) $(x^2 + 2) \cdot |2x - 1| = 0$;

б) $|x^4 + 1| = x^4 + x$;

в) $|x| = x + 2$;

г) $|x| = 2x + 1$;

д) $|x - 3| = x$;

е) $|x + 2| = 2x.$

а) $(x^2 + 2) \cdot |2x - 1| = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 + 2 = 0$. Перенесем 2 в правую часть: $x^2 = -2$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

2) $|2x - 1| = 0$. Модуль выражения равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю. Следовательно, $2x - 1 = 0$.

Решаем второе уравнение: $2x = 1$, откуда $x = \frac{1}{2}$.

Это единственное решение исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

б) $|x^4 + 1| = x^4 + x$

Выражение под знаком модуля, $x^4 + 1$, всегда положительно при любом действительном $x$, так как $x^4 \ge 0$ и, следовательно, $x^4 + 1 \ge 1$.

Поскольку подмодульное выражение всегда положительно, знак модуля можно опустить: $x^4 + 1 = x^4 + x$.

Вычитая $x^4$ из обеих частей уравнения, получаем: $1 = x$.

Проверим найденный корень: $|1^4 + 1| = 1^4 + 1$, $|2| = 1+1$, $2=2$. Равенство верное.

Ответ: $x = 1$.

в) $|x| = x + 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$:

1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид: $x = x + 2$. Вычитая $x$ из обеих частей, получаем $0 = 2$, что является неверным равенством. Следовательно, при $x \ge 0$ корней нет.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид: $-x = x + 2$. Переносим $x$ в правую часть: $0 = 2x + 2$, откуда $2x = -2$ и $x = -1$.

Полученное значение $x = -1$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $x = -1$.

г) $|x| = 2x + 1$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид: $x = 2x + 1$. Вычитая $x$ из обеих частей, получаем $0 = x + 1$, откуда $x = -1$. Это значение не удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому оно не является корнем.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид: $-x = 2x + 1$. Переносим $-x$ в правую часть: $0 = 3x + 1$, откуда $3x = -1$ и $x = -\frac{1}{3}$.

Полученное значение $x = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является корнем.

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

д) $|x - 3| = x$

Так как модуль числа всегда неотрицателен, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, то есть должно выполняться условие $x \ge 0$.

При этом условии уравнение $|x - 3| = x$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x - 3 = x$. Вычитая $x$ из обеих частей, получаем $-3 = 0$, что неверно. В этом случае корней нет.

2) $x - 3 = -x$. Переносим $-x$ влево, а $-3$ вправо: $x + x = 3$, то есть $2x = 3$, откуда $x = \frac{3}{2}$.

Значение $x = \frac{3}{2}$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, значит, это корень уравнения.

Ответ: $x = \frac{3}{2}$.

е) $|x + 2| = 2x$

Левая часть уравнения, модуль, всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $2x \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

При условии $x \ge 0$ выражение под модулем $x + 2$ всегда положительно ($x+2 \ge 2$), поэтому модуль можно раскрыть со знаком плюс: $|x + 2| = x + 2$.

Уравнение принимает вид: $x + 2 = 2x$.

Вычитаем $x$ из обеих частей: $2 = x$.

Полученное значение $x = 2$ удовлетворяет исходному условию $x \ge 0$, следовательно, является решением.

Ответ: $x = 2$.

990. a) $x(x+1) = \left|x + \frac{1}{2}\right| + \frac{1}{2}$;

б) $6x(x-1) + 5\left|x - \frac{1}{2}\right| = -\frac{5}{2}$;

в) $x^2+5|x+2|=-4(x+2)$;

г) $x^2+4x=2-|x+2|$.

а) $x(x+1) = |x + \frac{1}{2}| + \frac{1}{2}$

Раскроем скобки в левой части и перенесем $\frac{1}{2}$ влево:
$x^2 + x = |x + \frac{1}{2}| + \frac{1}{2}$
$x^2 + x - \frac{1}{2} = |x + \frac{1}{2}|$
Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат. Для этого добавим и вычтем $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$:
$(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = |x + \frac{1}{2}|$
$(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} = |x + \frac{1}{2}|$
Заметим, что $(x + \frac{1}{2})^2 = |x + \frac{1}{2}|^2$. Сделаем замену переменной: пусть $y = |x + \frac{1}{2}|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$y^2 - y - \frac{3}{4} = 0$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
$4y^2 - 4y - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$
$y_1 = \frac{-(-4) - 8}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-(-4) + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
Корень $y_1 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Остается один корень $y = \frac{3}{2}$. Вернемся к исходной переменной $x$:
$|x + \frac{1}{2}| = \frac{3}{2}$
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$
2) $x + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \implies x = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -2$
Ответ: $-2; 1$.

б) $6x(x-1) + 5|x - \frac{1}{2}| = -\frac{5}{2}$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:
$6x^2 - 6x + 5|x - \frac{1}{2}| + \frac{5}{2} = 0$
Преобразуем выражение $6x^2 - 6x$, чтобы оно содержало $(x - \frac{1}{2})$:
$6x^2 - 6x = 6(x^2 - x) = 6(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2) = 6((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) = 6(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$
Подставим это выражение в уравнение:
$6(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2} + 5|x - \frac{1}{2}| + \frac{5}{2} = 0$
$6(x - \frac{1}{2})^2 + 5|x - \frac{1}{2}| + 1 = 0$
Сделаем замену $y = |x - \frac{1}{2}|$, где $y \ge 0$. Учтем, что $(x - \frac{1}{2})^2 = |x - \frac{1}{2}|^2 = y^2$.
Получаем квадратное уравнение:
$6y^2 + 5y + 1 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$
$y_1 = \frac{-5 - 1}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-5 + 1}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$
Оба найденных значения для $y$ являются отрицательными, что противоречит условию $y \ge 0$. Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: нет корней.

в) $x^2 + 5|x+2| = -4(x+2)$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$x^2 + 4(x+2) + 5|x+2| = 0$
$x^2 + 4x + 8 + 5|x+2| = 0$
Преобразуем выражение $x^2 + 4x$, выделив полный квадрат:
$x^2 + 4x = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x+2)^2 - 4$
Подставим полученное выражение в уравнение:
$((x+2)^2 - 4) + 8 + 5|x+2| = 0$
$(x+2)^2 + 4 + 5|x+2| = 0$
Сделаем замену $y = |x+2|$, где $y \ge 0$. Тогда $(x+2)^2 = y^2$.
Получаем квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + 5y + 4 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $4$. Корни:
$y_1 = -1$, $y_2 = -4$
Оба значения для $y$ отрицательны, что противоречит условию $y \ge 0$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

г) $x^2 + 4x = 2 - |x+2|$

Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 + 4x + |x+2| - 2 = 0$
Выделим полный квадрат в выражении $x^2 + 4x$:
$x^2 + 4x = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x+2)^2 - 4$
Подставим в уравнение:
$((x+2)^2 - 4) + |x+2| - 2 = 0$
$(x+2)^2 + |x+2| - 6 = 0$
Сделаем замену $y = |x+2|$, где $y \ge 0$. Тогда $(x+2)^2 = y^2$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 + y - 6 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Корни:
$y_1 = -3$, $y_2 = 2$
Корень $y_1 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$.
Остается $y = 2$. Вернемся к переменной $x$:
$|x+2| = 2$
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $x+2 = 2 \implies x = 0$
2) $x+2 = -2 \implies x = -4$
Ответ: $-4; 0$.

991. a) $4x^4 - 11x^2 - 3 = 0;$

б) $4x^4 - 7x^2 - 2 = 0.$

а) Дано биквадратное уравнение $4x^4 - 11x^2 - 3 = 0$.
Это уравнение решается методом замены переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $y \ge 0$.
После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $y$:
$4y^2 - 11y - 3 = 0$.
Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Теперь найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$.
Корень $y_2 = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, следовательно, уравнение $x^2 = -\frac{1}{4}$ не имеет действительных корней.
Рассмотрим корень $y_1 = 3$:
$x^2 = 3$.
Из этого уравнения получаем два корня: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

б) Дано биквадратное уравнение $4x^4 - 7x^2 - 2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Учитываем, что $t \ge 0$.
В результате замены получаем квадратное уравнение:
$4t^2 - 7t - 2 = 0$.
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Выполним обратную замену.
Корень $t_2 = -\frac{1}{4}$ не подходит, так как он не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Уравнение $x^2 = -\frac{1}{4}$ не имеет решений в действительных числах.
Рассмотрим корень $t_1 = 2$:
$x^2 = 2$.
Отсюда находим два корня: $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

992. a) $x - \frac{4x}{4-x} = \frac{16}{x-4};$

б) $\frac{3x}{3-x} + \frac{9}{x-3} = x;$

в) $\frac{1}{x^2 - 10x + 25} + \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x+5};$

г) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x-6}.$

а) $x - \frac{4x}{4 - x} = \frac{16}{x - 4}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $4 - x \neq 0$ и $x - 4 \neq 0$, что в обоих случаях дает $x \neq 4$.

Заметим, что знаменатель в левой части уравнения можно преобразовать: $4 - x = -(x - 4)$. Подставим это в исходное уравнение:

$x - \frac{4x}{-(x - 4)} = \frac{16}{x - 4}$

$x + \frac{4x}{x - 4} = \frac{16}{x - 4}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x + \frac{4x}{x - 4} - \frac{16}{x - 4} = 0$

Объединим дроби с одинаковым знаменателем:

$x + \frac{4x - 16}{x - 4} = 0$

Вынесем общий множитель 4 в числителе дроби:

$x + \frac{4(x - 4)}{x - 4} = 0$

Поскольку $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на $(x - 4)$:

$x + 4 = 0$

Отсюда находим решение:

$x = -4$

Данное значение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 4$).

Ответ: -4.

б) $\frac{3x}{3 - x} + \frac{9}{x - 3} = x$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, т.е. $3 - x \neq 0$ и $x - 3 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.

Преобразуем знаменатель первой дроби: $3 - x = -(x - 3)$.

$\frac{3x}{-(x - 3)} + \frac{9}{x - 3} = x$

$-\frac{3x}{x - 3} + \frac{9}{x - 3} = x$

Сложим дроби в левой части:

$\frac{9 - 3x}{x - 3} = x$

Вынесем множитель -3 в числителе:

$\frac{-3(x - 3)}{x - 3} = x$

С учетом ОДЗ ($x \neq 3$), сократим дробь:

$-3 = x$

Значение $x = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3.

в) $\frac{1}{x^2 - 10x + 25} + \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x + 5}$

Определим ОДЗ. Для этого разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 \neq 0 \implies x \neq 5$

$25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) \neq 0 \implies x \neq 5$ и $x \neq -5$

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{1}{(x - 5)^2} + \frac{10}{(5 - x)(5 + x)} = \frac{1}{x + 5}$

Используем тождество $5 - x = -(x - 5)$:

$\frac{1}{(x - 5)^2} - \frac{10}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{1}{x + 5}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x - 5)^2(x + 5)$:

$\frac{x + 5}{(x - 5)^2(x + 5)} - \frac{10(x - 5)}{(x - 5)^2(x + 5)} - \frac{(x - 5)^2}{(x - 5)^2(x + 5)} = 0$

Так как знаменатель не равен нулю (согласно ОДЗ), приравняем числитель к нулю:

$(x + 5) - 10(x - 5) - (x^2 - 10x + 25) = 0$

$x + 5 - 10x + 50 - x^2 + 10x - 25 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + x + 30 = 0$

Умножим на -1:

$x^2 - x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение, например, по теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, произведение $x_1 \cdot x_2 = -30$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни по ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.

Ответ: 6.

г) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x - 6}$

Определим ОДЗ, разложив знаменатели на множители:

$x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2 \neq 0 \implies x \neq -6$

$36 - x^2 = (6 - x)(6 + x) \neq 0 \implies x \neq 6$ и $x \neq -6$

$x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6$

Итак, ОДЗ: $x \neq 6$ и $x \neq -6$.

Перепишем уравнение:

$\frac{2}{(x + 6)^2} - \frac{12}{(6 - x)(6 + x)} = \frac{1}{x - 6}$

Используем $6 - x = -(x - 6)$:

$\frac{2}{(x + 6)^2} + \frac{12}{(x - 6)(x + 6)} = \frac{1}{x - 6}$

Приведем к общему знаменателю $(x + 6)^2(x - 6)$:

$\frac{2(x - 6)}{(x + 6)^2(x - 6)} + \frac{12(x + 6)}{(x + 6)^2(x - 6)} - \frac{(x + 6)^2}{(x + 6)^2(x - 6)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$2(x - 6) + 12(x + 6) - (x + 6)^2 = 0$

$2x - 12 + 12x + 72 - (x^2 + 12x + 36) = 0$

$2x - 12 + 12x + 72 - x^2 - 12x - 36 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + 2x + 24 = 0$

Умножим на -1:

$x^2 - 2x - 24 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни по ОДЗ: $x \neq 6$ и $x \neq -6$.

Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -4.

993. a) $\frac{2}{(2x-1)(x+2)} - \frac{x}{5(x+2)} = \frac{2}{2x-1};$

б) $\frac{4}{(3x-1)(x+1)} - \frac{2x}{3x+3} = \frac{3}{3x-1}.$

a)

Дано уравнение: $ \frac{2}{(2x-1)(x+2)} - \frac{x}{5(x+2)} = \frac{2}{2x-1} $.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0.5) \cup (0.5; +\infty)$.

Приведем все дроби к общему знаменателю, который равен $5(2x-1)(x+2)$. Для этого умножим обе части уравнения на этот знаменатель:

$$ 2 \cdot 5 - x(2x-1) = 2 \cdot 5(x+2) $$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$$ 10 - 2x^2 + x = 10x + 20 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ -2x^2 + x - 10x + 10 - 20 = 0 $$

$$ -2x^2 - 9x - 10 = 0 $$

Умножим обе части уравнения на -1:

$$ 2x^2 + 9x + 10 = 0 $$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1 $$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$ x_1 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5 $$

$$ x_2 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2 $$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $(x+2)$ обращается в ноль. Следовательно, $x_2 = -2$ является посторонним корнем. Корень $x_1 = -2.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2,5.

б)

Дано уравнение: $ \frac{4}{(3x-1)(x+1)} - \frac{2x}{3x+3} = \frac{3}{3x-1} $.

Заметим, что знаменатель второй дроби можно упростить: $3x+3 = 3(x+1)$. Уравнение примет вид:

$$ \frac{4}{(3x-1)(x+1)} - \frac{2x}{3(x+1)} = \frac{3}{3x-1} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$3x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}$

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Общий знаменатель дробей равен $3(3x-1)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$$ 4 \cdot 3 - 2x(3x-1) = 3 \cdot 3(x+1) $$

Раскроем скобки:

$$ 12 - 6x^2 + 2x = 9x + 9 $$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$$ -6x^2 + 2x - 9x + 12 - 9 = 0 $$

$$ -6x^2 - 7x + 3 = 0 $$

Умножим обе части уравнения на -1:

$$ 6x^2 + 7x - 3 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $$

Найдем корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} = -1.5 $$

$$ x_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2 = \frac{1}{3}$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $(3x-1)$ равен нулю, поэтому это посторонний корень. Корень $x_1 = -1.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1,5.

994. a) $ \frac{5 - 2x}{x^2 - x} + \frac{2}{x} = \frac{3x}{x - 1} $;

б) $ \frac{2x}{x + 1} + \frac{3x - 1}{x^2 - 1} = \frac{3}{x - 1} $;

в) $ \frac{6}{x^2 - 9} + \frac{2}{x^2 + 4x} = \frac{7}{x^2 + x - 12} $.

а) $\frac{5-2x}{x^2-x} + \frac{2}{x} = \frac{3x}{x-1}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

$x^2-x \neq 0 \implies x(x-1) \neq 0 \implies x \neq 0 \text{ и } x \neq 1$.

$x \neq 0$.

$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2-x = x(x-1)$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей — это $x(x-1)$.

Умножим обе части уравнения на НОЗ $x(x-1)$:

$\frac{(5-2x) \cdot x(x-1)}{x(x-1)} + \frac{2 \cdot x(x-1)}{x} = \frac{3x \cdot x(x-1)}{x-1}$

Сократим дроби:

$(5-2x) + 2(x-1) = 3x \cdot x$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$5 - 2x + 2x - 2 = 3x^2$

$3 = 3x^2$

$x^2 = 1$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ:

• $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$. Это посторонний корень.
• $x_2 = -1$ входит в ОДЗ.

Ответ: $-1$

б) $\frac{2x}{x+1} + \frac{3x-1}{x^2-1} = \frac{3}{x-1}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны равняться нулю:

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

$x^2-1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1 \text{ и } x \neq -1$.

$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Разложим знаменатель $x^2-1$ на множители: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. НОЗ для всех дробей равен $(x-1)(x+1)$.

Умножим обе части уравнения на НОЗ $(x-1)(x+1)$:

$\frac{2x \cdot (x-1)(x+1)}{x+1} + \frac{(3x-1) \cdot (x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3 \cdot (x-1)(x+1)}{x-1}$

Сократим дроби:

$2x(x-1) + (3x-1) = 3(x+1)$

Раскроем скобки:

$2x^2 - 2x + 3x - 1 = 3x + 3$

$2x^2 + x - 1 = 3x + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$2x^2 + x - 3x - 1 - 3 = 0$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней $x_1+x_2 = 1$, произведение корней $x_1x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ:

• $x_1 = 2$ входит в ОДЗ.
• $x_2 = -1$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq -1$. Это посторонний корень.

Ответ: $2$

в) $\frac{6}{x^2-9} + \frac{2}{x^2+4x} = \frac{7}{x^2+x-12}$

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти ОДЗ и НОЗ.

• $x^2-9 = (x-3)(x+3)$
• $x^2+4x = x(x+4)$
• $x^2+x-12$: решим $t^2+t-12=0$. По теореме Виета, $t_1+t_2 = -1$, $t_1t_2 = -12$, откуда $t_1=3, t_2=-4$. Значит, $x^2+x-12 = (x-3)(x+4)$.

Уравнение приобретает вид:

$\frac{6}{(x-3)(x+3)} + \frac{2}{x(x+4)} = \frac{7}{(x-3)(x+4)}$

ОДЗ: из разложения знаменателей следует, что $x \neq 3, x \neq -3, x \neq 0, x \neq -4$.

НОЗ равен $x(x-3)(x+3)(x+4)$. Умножим обе части уравнения на НОЗ:

$6 \cdot x(x+4) + 2 \cdot (x-3)(x+3) = 7 \cdot x(x+3)$

Раскроем скобки:

$6(x^2+4x) + 2(x^2-9) = 7(x^2+3x)$

$6x^2 + 24x + 2x^2 - 18 = 7x^2 + 21x$

Приведем подобные слагаемые:

$8x^2 + 24x - 18 = 7x^2 + 21x$

Перенесем все в левую часть:

$8x^2 - 7x^2 + 24x - 21x - 18 = 0$

$x^2 + 3x - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1+x_2 = -3$, $x_1x_2 = -18$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ:

• $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 3$. Это посторонний корень.
• $x_2 = -6$ входит в ОДЗ.

Ответ: $-6$

995. а) $ \frac{x+3}{x^2-x} - \frac{x+5}{x+x^2} = \frac{x-6}{1-x^2} $

б) $ \frac{5x}{3x+1} - \frac{1}{9x+3} = 1 \frac{1}{6} $

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x+3}{x^2-x} - \frac{x+5}{x+x^2} = \frac{x-6}{1-x^2} $

1. Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель. Также обратим внимание на знак в знаменателе последней дроби.

$ x^2-x = x(x-1) $

$ x+x^2 = x(x+1) $

$ 1-x^2 = (1-x)(1+x) = -(x-1)(x+1) $

Подставим разложенные знаменатели в уравнение:

$ \frac{x+3}{x(x-1)} - \frac{x+5}{x(x+1)} = \frac{x-6}{-(x-1)(x+1)} $

Избавимся от минуса в знаменателе правой части, поменяв знак перед дробью:

$ \frac{x+3}{x(x-1)} - \frac{x+5}{x(x+1)} = -\frac{x-6}{(x-1)(x+1)} $

2. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$ x \neq 0 $; $ x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $; $ x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq -1, x \neq 0, x \neq 1 $.

3. Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем их к общему знаменателю $ x(x-1)(x+1) $:

$ \frac{x+3}{x(x-1)} - \frac{x+5}{x(x+1)} + \frac{x-6}{(x-1)(x+1)} = 0 $

$ \frac{(x+3)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{(x+5)(x-1)}{x(x-1)(x+1)} + \frac{x(x-6)}{x(x-1)(x+1)} = 0 $

$ \frac{(x+3)(x+1) - (x+5)(x-1) + x(x-6)}{x(x-1)(x+1)} = 0 $

4. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что мы учли в ОДЗ). Приравняем числитель к нулю:

$ (x+3)(x+1) - (x+5)(x-1) + x(x-6) = 0 $

Раскроем скобки:

$ (x^2+x+3x+3) - (x^2-x+5x-5) + (x^2-6x) = 0 $

$ (x^2+4x+3) - (x^2+4x-5) + x^2-6x = 0 $

$ x^2+4x+3 - x^2-4x+5 + x^2-6x = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (x^2-x^2+x^2) + (4x-4x-6x) + (3+5) = 0 $

$ x^2 - 6x + 8 = 0 $

5. Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $ x_1 + x_2 = 6 $

Произведение корней: $ x_1 \cdot x_2 = 8 $

Легко подобрать корни: $ x_1=2 $ и $ x_2=4 $.

6. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($ x \neq -1, x \neq 0, x \neq 1 $).

Оба корня, $ x=2 $ и $ x=4 $, входят в область допустимых значений.

Ответ: 2; 4.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{5x}{3x+1} - \frac{1}{9x+3} = 1\frac{1}{6} $

1. Упростим уравнение. Для этого разложим знаменатель второй дроби на множители и представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$ 9x+3 = 3(3x+1) $

$ 1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6} $

Уравнение примет вид:

$ \frac{5x}{3x+1} - \frac{1}{3(3x+1)} = \frac{7}{6} $

2. Определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что знаменатель не должен быть равен нулю:

$ 3x+1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq -1 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{3} $.

3. Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $ 3(3x+1) $:

$ \frac{3 \cdot 5x}{3(3x+1)} - \frac{1}{3(3x+1)} = \frac{7}{6} $

$ \frac{15x - 1}{3(3x+1)} = \frac{7}{6} $

4. Решим получившееся уравнение как пропорцию (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ 6(15x - 1) = 7 \cdot 3(3x+1) $

$ 6(15x - 1) = 21(3x+1) $

Раскроем скобки:

$ 90x - 6 = 63x + 21 $

5. Сгруппируем слагаемые с переменной $ x $ в левой части, а свободные члены — в правой:

$ 90x - 63x = 21 + 6 $

$ 27x = 27 $

$ x = \frac{27}{27} $

$ x = 1 $

6. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($ x \neq -\frac{1}{3} $).

Корень $ x=1 $ входит в область допустимых значений.

Ответ: 1.