Номер 985, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

985. Задача Бхаскары II (1114 – ок.1178). Решите уравнение в целых числах:

$100x + 90 = 63y$

Данное уравнение $100x + 90 = 63y$ является линейным диофантовым уравнением с двумя переменными $x$ и $y$. Для его решения в целых числах перепишем его в виде $100x - 63y = -90$.

Наиболее эффективным методом решения таких уравнений является использование сравнений по модулю. Из исходного уравнения следует, что выражение $100x + 90$ должно быть кратно 63. Запишем это в виде сравнения по модулю 63:

$100x + 90 \equiv 0 \pmod{63}$

Упростим коэффициенты этого сравнения. Найдем остатки от деления 100 и 90 на 63:

$100 = 1 \cdot 63 + 37 \Rightarrow 100 \equiv 37 \pmod{63}$

$90 = 1 \cdot 63 + 27 \Rightarrow 90 \equiv 27 \pmod{63}$

Подставив эти значения в сравнение, получим:

$37x + 27 \equiv 0 \pmod{63}$

Перенесем 27 в правую часть:

$37x \equiv -27 \pmod{63}$

Так как $-27 \equiv -27 + 63 \equiv 36 \pmod{63}$, сравнение принимает вид:

$37x \equiv 36 \pmod{63}$

Для того чтобы найти $x$, нужно умножить обе части сравнения на число, обратное к 37 по модулю 63. Найдем это число с помощью расширенного алгоритма Евклида для чисел 63 и 37.

$63 = 1 \cdot 37 + 26$
$37 = 1 \cdot 26 + 11$
$26 = 2 \cdot 11 + 4$
$11 = 2 \cdot 4 + 3$
$4 = 1 \cdot 3 + 1$

Теперь выразим 1 через 63 и 37, двигаясь по алгоритму в обратном порядке:

$1 = 4 - 1 \cdot 3$
$1 = 4 - 1 \cdot (11 - 2 \cdot 4) = 3 \cdot 4 - 11$
$1 = 3 \cdot (26 - 2 \cdot 11) - 11 = 3 \cdot 26 - 7 \cdot 11$
$1 = 3 \cdot 26 - 7 \cdot (37 - 1 \cdot 26) = 10 \cdot 26 - 7 \cdot 37$
$1 = 10 \cdot (63 - 1 \cdot 37) - 7 \cdot 37 = 10 \cdot 63 - 10 \cdot 37 - 7 \cdot 37$
$1 = 10 \cdot 63 - 17 \cdot 37$

Из полученного равенства $10 \cdot 63 - 17 \cdot 37 = 1$ следует, что $-17 \cdot 37 \equiv 1 \pmod{63}$. Значит, число -17 является обратным к 37 по модулю 63. Умножим обе части сравнения $37x \equiv 36 \pmod{63}$ на -17:

$(-17) \cdot 37x \equiv (-17) \cdot 36 \pmod{63}$

$1 \cdot x \equiv -612 \pmod{63}$

Найдем остаток от деления -612 на 63. Так как $612 = 9 \cdot 63 + 45$, то $-612 = -9 \cdot 63 - 45 = -10 \cdot 63 + 63 - 45 = -10 \cdot 63 + 18$. Следовательно, $-612 \equiv 18 \pmod{63}$.

Таким образом, мы нашли, что $x \equiv 18 \pmod{63}$. Это означает, что $x$ может быть любым целым числом вида:

$x = 18 + 63n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь найдем соответствующее выражение для $y$. Подставим найденное выражение для $x$ в исходное уравнение $100x + 90 = 63y$:

$100(18 + 63n) + 90 = 63y$

$1800 + 6300n + 90 = 63y$

$1890 + 6300n = 63y$

Разделим обе части уравнения на 63:

$y = \frac{1890}{63} + \frac{6300n}{63}$

$y = 30 + 100n$

Таким образом, все целочисленные решения данного уравнения описываются парой формул.

Ответ: $x = 18 + 63n$, $y = 30 + 100n$, где $n \in \mathbb{Z}$.