Номер 979, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

979. Один из корней уравнения $x^2 - x - a = 0$ равен $a + 1$. Найдите другой его корень.

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 - x - a = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, один из корней равен $a + 1$. Примем, что $x_1 = a + 1$. Нам необходимо найти второй корень $x_2$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями $x_1$, $x_2$ и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - x - a = 0$ коэффициент при $x$ равен $p = -1$, а свободный член равен $q = -a$.

Следовательно, для нашего уравнения справедливы следующие равенства:

1. $x_1 + x_2 = -(-1) = 1$
2. $x_1 \cdot x_2 = -a$

Из первого равенства мы можем выразить второй корень $x_2$ через первый корень $x_1$:

$x_2 = 1 - x_1$

Теперь подставим в это выражение известное значение первого корня $x_1 = a + 1$:

$x_2 = 1 - (a + 1) = 1 - a - 1 = -a$

Мы нашли, что второй корень выражается через параметр $a$ как $x_2 = -a$.

Теперь у нас есть выражения для обоих корней через $a$: $x_1 = a + 1$ и $x_2 = -a$. Подставим их во второе равенство из теоремы Виета ($x_1 \cdot x_2 = -a$):

$(a + 1) \cdot (-a) = -a$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$-a^2 - a = -a$

Прибавим $a$ к обеим частям уравнения, чтобы упростить его:

$-a^2 = 0$

Из этого уравнения следует, что $a = 0$.

Мы нашли значение параметра $a$, при котором условие задачи выполняется. Теперь мы можем найти точное значение второго корня, подставив $a=0$ в найденное для него выражение $x_2 = -a$:

$x_2 = -0 = 0$

Для проверки можно найти и первый корень: $x_1 = a + 1 = 0 + 1 = 1$.

Исходное уравнение при $a=0$ принимает вид $x^2 - x = 0$, или $x(x-1)=0$, его корни действительно равны $1$ и $0$.

Таким образом, другой корень уравнения равен 0.

Ответ: 0