Номер 976, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

976. Найдите значение $p$, при котором корни уравнения $2x^2 - 5x + p = 0$ удовлетворяют условию $\frac{x_2^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} = \frac{65}{8}$.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 5x + p = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни. Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для данного уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{p}{2}$

Также дано условие, которому удовлетворяют корни:

$\frac{x_2^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} = \frac{65}{8}$

Преобразуем левую часть этого равенства, приведя дроби к общему знаменателю $x_1x_2$:

$\frac{x_2^2 \cdot x_2 + x_1^2 \cdot x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1 x_2} = \frac{65}{8}$

Теперь выразим сумму кубов корней $x_1^3 + x_2^3$ через сумму и произведение корней. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)$

Выражение $x_1^2 + x_2^2$ также можно представить через сумму и произведение корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Подставим это в выражение для суммы кубов:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 - x_1 x_2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2)$

Теперь подставим значения суммы и произведения корней из теоремы Виета:

$x_1^3 + x_2^3 = \frac{5}{2} \cdot \left( \left( \frac{5}{2} \right)^2 - 3 \cdot \frac{p}{2} \right) = \frac{5}{2} \cdot \left( \frac{25}{4} - \frac{3p}{2} \right) = \frac{5}{2} \cdot \left( \frac{25 - 6p}{4} \right) = \frac{5(25 - 6p)}{8}$

Теперь вернемся к исходному условию и подставим в него полученное выражение для числителя и выражение для знаменателя $x_1x_2 = \frac{p}{2}$:

$\frac{\frac{5(25 - 6p)}{8}}{\frac{p}{2}} = \frac{65}{8}$

Упростим полученное уравнение. Заметим, что для существования выражения в условии $x_1$ и $x_2$ не могут быть равны нулю, а значит $x_1x_2 = \frac{p}{2} \ne 0$, следовательно $p \ne 0$.

$\frac{5(25 - 6p)}{8} \cdot \frac{2}{p} = \frac{65}{8}$

$\frac{10(25 - 6p)}{8p} = \frac{65}{8}$

Умножим обе части уравнения на $8p$:

$10(25 - 6p) = 65p$

Разделим обе части на 5:

$2(25 - 6p) = 13p$

$50 - 12p = 13p$

$50 = 13p + 12p$

$50 = 25p$

$p = \frac{50}{25} = 2$

Проверим, существуют ли при данном значении $p$ действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot p = 25 - 8p$

$D \ge 0 \implies 25 - 8p \ge 0 \implies 25 \ge 8p \implies p \le \frac{25}{8} = 3.125$

Найденное значение $p=2$ удовлетворяет этому условию ($2 \le 3.125$).

Ответ: $p = 2$