Номер 983, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

983. При каких значениях $a$, $b$, $c$ (или при каких отношениях между ними) для квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$:

a) сумма корней этого трёхчлена равна их произведению;

б) корни этого трёхчлена равны по абсолютной величине?

Рассмотрим квадратичный трёхчлен $ax^2 + bx + c$. По определению, коэффициент $a \neq 0$. Для того чтобы у трёхчлена были действительные корни (что обычно подразумевается в таких задачах), его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным: $D = b^2 - 4ac \ge 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого трёхчлена. Согласно теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

а) сумма корней этого трёхчлена равна их произведению;

Условие задачи можно записать в виде равенства: $x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2$.Используя формулы Виета, подставим выражения для суммы и произведения корней:

$$-\frac{b}{a} = \frac{c}{a}$$

Поскольку по определению квадратичного трёхчлена $a \neq 0$, мы можем умножить обе части равенства на $a$, чтобы получить соотношение между коэффициентами $b$ и $c$:

$$-b = c \quad \text{или} \quad b + c = 0$$

Это основное требуемое соотношение. Однако, для существования самих действительных корней необходимо выполнение условия $D \ge 0$. Подставим в неравенство для дискриминанта найденное соотношение $c = -b$:

$$D = b^2 - 4a(-b) = b^2 + 4ab \ge 0$$

Это неравенство можно переписать в виде $b(b + 4a) \ge 0$.

Ответ: Сумма корней равна их произведению при выполнении соотношения $b + c = 0$, при условии, что трёхчлен имеет действительные корни (т.е. $a \neq 0$ и $b(b+4a) \ge 0$).

б) корни этого трёхчлена равны по абсолютной величине?

Условие равенства корней по абсолютной величине записывается как $|x_1| = |x_2|$. Для действительных чисел это равенство эквивалентно тому, что $x_1^2 = x_2^2$, что, в свою очередь, можно записать как $x_1^2 - x_2^2 = 0$ или $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0$. Это равенство выполняется в двух случаях:

1. Корни равны: $x_1 - x_2 = 0 \implies x_1 = x_2$.

2. Сумма корней равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Корни равны ($x_1 = x_2$)

Квадратный трёхчлен имеет два равных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:

$$D = b^2 - 4ac = 0$$

Это одно из возможных соотношений между коэффициентами.

Случай 2: Сумма корней равна нулю ($x_1 + x_2 = 0$)

Если сумма корней равна нулю, то из теоремы Виета ($x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$) следует:

$$-\frac{b}{a} = 0$$

Так как $a \neq 0$, это равенство выполняется только при $b=0$. В этом случае корни являются противоположными числами ($x_1 = -x_2$).

Для существования действительных корней при $b=0$ необходимо, чтобы дискриминант был неотрицателен: $D = b^2 - 4ac \ge 0$. Подставим $b=0$:

$$0^2 - 4ac \ge 0 \implies -4ac \ge 0$$

Разделив обе части неравенства на $-4$ и изменив знак, получим:

$$ac \le 0$$

Это означает, что коэффициенты $a$ и $c$ должны иметь противоположные знаки, либо один из них (или оба) равен нулю (но $a \neq 0$, значит $c$ может быть равно нулю).

Таким образом, мы получили два независимых набора условий:

• $b^2 - 4ac = 0$ (корни равны, например $x_1=x_2=3$).
• $b = 0$ и $ac \le 0$ (корни противоположны, например $x_1=3, x_2=-3$, или оба равны нулю, если $c=0$).

Ответ: Корни равны по абсолютной величине, если выполняется одно из двух условий (при $a \neq 0$): либо $b^2 - 4ac = 0$, либо одновременно $b = 0$ и $ac \le 0$.