Номер 990, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

990. a) $x(x+1) = \left|x + \frac{1}{2}\right| + \frac{1}{2}$;

б) $6x(x-1) + 5\left|x - \frac{1}{2}\right| = -\frac{5}{2}$;

в) $x^2+5|x+2|=-4(x+2)$;

г) $x^2+4x=2-|x+2|$.

а) $x(x+1) = |x + \frac{1}{2}| + \frac{1}{2}$

Раскроем скобки в левой части и перенесем $\frac{1}{2}$ влево:
$x^2 + x = |x + \frac{1}{2}| + \frac{1}{2}$
$x^2 + x - \frac{1}{2} = |x + \frac{1}{2}|$
Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат. Для этого добавим и вычтем $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$:
$(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = |x + \frac{1}{2}|$
$(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} = |x + \frac{1}{2}|$
Заметим, что $(x + \frac{1}{2})^2 = |x + \frac{1}{2}|^2$. Сделаем замену переменной: пусть $y = |x + \frac{1}{2}|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$y^2 - y - \frac{3}{4} = 0$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
$4y^2 - 4y - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$
$y_1 = \frac{-(-4) - 8}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-(-4) + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
Корень $y_1 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Остается один корень $y = \frac{3}{2}$. Вернемся к исходной переменной $x$:
$|x + \frac{1}{2}| = \frac{3}{2}$
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$
2) $x + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \implies x = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -2$
Ответ: $-2; 1$.

б) $6x(x-1) + 5|x - \frac{1}{2}| = -\frac{5}{2}$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:
$6x^2 - 6x + 5|x - \frac{1}{2}| + \frac{5}{2} = 0$
Преобразуем выражение $6x^2 - 6x$, чтобы оно содержало $(x - \frac{1}{2})$:
$6x^2 - 6x = 6(x^2 - x) = 6(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2) = 6((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) = 6(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$
Подставим это выражение в уравнение:
$6(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2} + 5|x - \frac{1}{2}| + \frac{5}{2} = 0$
$6(x - \frac{1}{2})^2 + 5|x - \frac{1}{2}| + 1 = 0$
Сделаем замену $y = |x - \frac{1}{2}|$, где $y \ge 0$. Учтем, что $(x - \frac{1}{2})^2 = |x - \frac{1}{2}|^2 = y^2$.
Получаем квадратное уравнение:
$6y^2 + 5y + 1 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$
$y_1 = \frac{-5 - 1}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-5 + 1}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$
Оба найденных значения для $y$ являются отрицательными, что противоречит условию $y \ge 0$. Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: нет корней.

в) $x^2 + 5|x+2| = -4(x+2)$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$x^2 + 4(x+2) + 5|x+2| = 0$
$x^2 + 4x + 8 + 5|x+2| = 0$
Преобразуем выражение $x^2 + 4x$, выделив полный квадрат:
$x^2 + 4x = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x+2)^2 - 4$
Подставим полученное выражение в уравнение:
$((x+2)^2 - 4) + 8 + 5|x+2| = 0$
$(x+2)^2 + 4 + 5|x+2| = 0$
Сделаем замену $y = |x+2|$, где $y \ge 0$. Тогда $(x+2)^2 = y^2$.
Получаем квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + 5y + 4 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $4$. Корни:
$y_1 = -1$, $y_2 = -4$
Оба значения для $y$ отрицательны, что противоречит условию $y \ge 0$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

г) $x^2 + 4x = 2 - |x+2|$

Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 + 4x + |x+2| - 2 = 0$
Выделим полный квадрат в выражении $x^2 + 4x$:
$x^2 + 4x = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x+2)^2 - 4$
Подставим в уравнение:
$((x+2)^2 - 4) + |x+2| - 2 = 0$
$(x+2)^2 + |x+2| - 6 = 0$
Сделаем замену $y = |x+2|$, где $y \ge 0$. Тогда $(x+2)^2 = y^2$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 + y - 6 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Корни:
$y_1 = -3$, $y_2 = 2$
Корень $y_1 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$.
Остается $y = 2$. Вернемся к переменной $x$:
$|x+2| = 2$
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $x+2 = 2 \implies x = 0$
2) $x+2 = -2 \implies x = -4$
Ответ: $-4; 0$.