Номер 996, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

996. a) $ \frac{1}{2x + x^2 + 1} + \frac{4}{x + 2x^2 + x^3} = \frac{5}{2x + 2x^2} $;

б) $ \frac{7}{6x + 30} + \frac{3}{4x - 20} = \frac{15}{2x^2 - 50} $.

a)

Исходное уравнение: $$ \frac{1}{2x + x^2 + 1} + \frac{4}{x + 2x^2 + x^3} = \frac{5}{2x + 2x^2} $$ Для начала, разложим на множители знаменатели всех дробей.
Первый знаменатель: $2x + x^2 + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Это формула квадрата суммы.
Второй знаменатель: $x + 2x^2 + x^3 = x(1 + 2x + x^2) = x(x+1)^2$. Вынесли общий множитель $x$ и использовали ту же формулу.
Третий знаменатель: $2x + 2x^2 = 2x(1+x)$. Вынесли общий множитель $2x$.
Теперь перепишем уравнение с разложенными знаменателями: $$ \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{4}{x(x+1)^2} = \frac{5}{2x(x+1)} $$ Определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю:
$x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq -1$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей — это $2x(x+1)^2$. Умножим на него обе части уравнения, чтобы избавиться от дробей: $$ \frac{1 \cdot 2x(x+1)^2}{(x+1)^2} + \frac{4 \cdot 2x(x+1)^2}{x(x+1)^2} = \frac{5 \cdot 2x(x+1)^2}{2x(x+1)} $$ Сократим дроби: $$ 1 \cdot 2x + 4 \cdot 2 = 5 \cdot (x+1) $$ $$ 2x + 8 = 5x + 5 $$ Теперь решим полученное линейное уравнение: $$ 8 - 5 = 5x - 2x $$ $$ 3 = 3x $$ $$ x = 1 $$ Полученный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -1$).
Ответ: $1$.

б)

Исходное уравнение: $$ \frac{7}{6x + 30} + \frac{3}{4x - 20} = \frac{15}{2x^2 - 50} $$ Разложим знаменатели на множители:
$6x + 30 = 6(x+5)$
$4x - 20 = 4(x-5)$
$2x^2 - 50 = 2(x^2 - 25) = 2(x-5)(x+5)$. Здесь применена формула разности квадратов.
Подставим разложенные знаменатели в уравнение: $$ \frac{7}{6(x+5)} + \frac{3}{4(x-5)} = \frac{15}{2(x-5)(x+5)} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x+5 \neq 0$ и $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq -5$ и $x \neq 5$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $6(x+5)$, $4(x-5)$ и $2(x-5)(x+5)$ — это $12(x-5)(x+5)$, так как НОК(6, 4, 2) = 12.
Умножим обе части уравнения на НОЗ: $$ \frac{7 \cdot 12(x-5)(x+5)}{6(x+5)} + \frac{3 \cdot 12(x-5)(x+5)}{4(x-5)} = \frac{15 \cdot 12(x-5)(x+5)}{2(x-5)(x+5)} $$ После сокращения дробей получаем: $$ 7 \cdot 2(x-5) + 3 \cdot 3(x+5) = 15 \cdot 6 $$ $$ 14(x-5) + 9(x+5) = 90 $$ Раскроем скобки и решим уравнение: $$ 14x - 70 + 9x + 45 = 90 $$ $$ 23x - 25 = 90 $$ $$ 23x = 90 + 25 $$ $$ 23x = 115 $$ $$ x = \frac{115}{23} $$ $$ x = 5 $$ Проверим, соответствует ли найденный корень $x=5$ области допустимых значений. ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Поскольку корень $x=5$ не входит в ОДЗ (при этом значении знаменатели дробей $\frac{3}{4x-20}$ и $\frac{15}{2x^2-50}$ обращаются в ноль), он является посторонним корнем. Таким образом, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.