Номер 998, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

998. a) $\frac{2}{x^2 - 10x + 25} - \frac{1}{x + 5} = \frac{10}{x^2 - 25}$

б) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{1}{x - 6} = \frac{12}{x^2 - 36}$

а) $\frac{2}{x^2 - 10x + 25} - \frac{1}{x+5} = \frac{10}{x^2 - 25}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$

$x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$

Перепишем уравнение:

$\frac{2}{(x-5)^2} - \frac{1}{x+5} = \frac{10}{(x-5)(x+5)}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x-5 \ne 0$ и $x+5 \ne 0$. Следовательно, $x \ne 5$ и $x \ne -5$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-5)^2(x+5)$:

$\frac{2(x+5)}{(x-5)^2(x+5)} - \frac{(x-5)^2}{(x-5)^2(x+5)} = \frac{10(x-5)}{(x-5)^2(x+5)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$2(x+5) - (x-5)^2 = 10(x-5)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2x + 10 - (x^2 - 10x + 25) = 10x - 50$

$2x + 10 - x^2 + 10x - 25 = 10x - 50$

$-x^2 + 12x - 15 = 10x - 50$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 12x + 15 + 10x - 50 = 0$

$x^2 - 2x - 35 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -35$

Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ne 5, x \ne -5$). Корень $x = -5$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ. Корень $x = 7$ удовлетворяет условию.

Ответ: $x=7$.

б) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{1}{x-6} = \frac{12}{x^2 - 36}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы: квадрат суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$

$x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$

Перепишем уравнение:

$\frac{2}{(x+6)^2} - \frac{1}{x-6} = \frac{12}{(x-6)(x+6)}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+6 \ne 0$ и $x-6 \ne 0$. Следовательно, $x \ne -6$ и $x \ne 6$.

Общий знаменатель: $(x+6)^2(x-6)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2(x-6) - 1(x+6)^2 = 12(x+6)$

Раскроем скобки:

$2x - 12 - (x^2 + 12x + 36) = 12x + 72$

$2x - 12 - x^2 - 12x - 36 = 12x + 72$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 - 10x - 48 = 12x + 72$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = x^2 + 10x + 48 + 12x + 72$

$x^2 + 22x + 120 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -22$

$x_1 \cdot x_2 = 120$

Подбором находим корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = -12$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ne -6, x \ne 6$). Оба корня удовлетворяют условиям ОДЗ.

Ответ: $x_1 = -10, x_2 = -12$.