Номер 1000, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1000. а) $\frac{1}{x - x^{-1}} = 1;$

б) $\frac{1}{x + x^{-1}} = 1;$

в) $\frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5};$

г) $\frac{1}{x^2 - 12x + 36} + \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x + 6}.$

а)Исходное уравнение: $\frac{1}{x - x^{-1}} = 1$.
Преобразуем знаменатель, используя свойство степени $x^{-1} = \frac{1}{x}$: $x - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x}$.
Подставим это выражение в уравнение: $\frac{1}{\frac{x^2-1}{x}} = 1$, что эквивалентно $\frac{x}{x^2 - 1} = 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$ и $x^2 - 1 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Решаем уравнение $\frac{x}{x^2 - 1} = 1$. Умножим обе части на $x^2-1$:
$x = x^2 - 1$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - x - 1 = 0$
Решаем это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. В нашем случае $a=1, b=-1, c=-1$.
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
Оба найденных корня не равны $0, 1, -1$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

б)Исходное уравнение: $\frac{1}{x + x^{-1}} = 1$.
Преобразуем знаменатель: $x + x^{-1} = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x}$.
Подставим в уравнение: $\frac{1}{\frac{x^2+1}{x}} = 1$, что эквивалентно $\frac{x}{x^2 + 1} = 1$.
ОДЗ: $x \neq 0$. Знаменатель $x^2+1$ всегда положителен при любом действительном $x$.
Решаем уравнение $\frac{x}{x^2 + 1} = 1$:
$x = x^2 + 1$
Приводим к стандартному виду: $x^2 - x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

в)Исходное уравнение: $\frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5}$.
Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$
$25 - x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5)$
Перепишем уравнение: $\frac{2}{(x+5)^2} - \frac{10}{-(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5}$.
Упростим: $\frac{2}{(x+5)^2} + \frac{10}{(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5}$.
ОДЗ: знаменатели не должны равняться нулю, т.е. $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-5)(x+5)^2$ и умножим на него обе части уравнения:
$2(x-5) + 10(x+5) = 1(x+5)^2$
Раскроем скобки: $2x - 10 + 10x + 50 = x^2 + 10x + 25$.
Приведем подобные слагаемые: $12x + 40 = x^2 + 10x + 25$.
Перенесем все в одну сторону: $x^2 - 2x - 15 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -15, а их сумма равна 2. Корни: $x_1 = 5, x_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 5$ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = -3$.

г)Исходное уравнение: $\frac{1}{x^2 - 12x + 36} + \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x + 6}$.
Разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2$
$36 - x^2 = (6-x)(6+x) = -(x-6)(x+6)$
Перепишем уравнение: $\frac{1}{(x-6)^2} - \frac{12}{(x-6)(x+6)} = \frac{1}{x+6}$.
ОДЗ: $x \neq 6$ и $x \neq -6$.
Общий знаменатель: $(x-6)^2(x+6)$. Умножим обе части уравнения на него:
$1(x+6) - 12(x-6) = 1(x-6)^2$
Раскроем скобки: $x + 6 - 12x + 72 = x^2 - 12x + 36$.
Приведем подобные слагаемые: $-11x + 78 = x^2 - 12x + 36$.
Перенесем все в одну сторону: $x^2 - x - 42 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -42, а их сумма равна 1. Корни: $x_1 = 7, x_2 = -6$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2 = -6$ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ. Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 7$.