Номер 999, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

999. a) $\frac{1}{x-8} + \frac{1}{x-6} + \frac{1}{x+6} + \frac{1}{x+8} = 0;$

б) $\frac{3}{x-2} - \frac{4}{x-1} = \frac{1}{x-4} - \frac{2}{x-3}.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x-8} + \frac{1}{x-6} + \frac{1}{x+6} + \frac{1}{x+8} = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели дробей не равны нулю. Таким образом, $ x \ne 8 $, $ x \ne 6 $, $ x \ne -6 $ и $ x \ne -8 $.

Для решения сгруппируем слагаемые, чтобы использовать формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $.

$ \left(\frac{1}{x-8} + \frac{1}{x+8}\right) + \left(\frac{1}{x-6} + \frac{1}{x+6}\right) = 0 $

Приведем дроби в каждой из скобок к общему знаменателю:

$ \frac{x+8+x-8}{(x-8)(x+8)} + \frac{x+6+x-6}{(x-6)(x+6)} = 0 $

Упростим числители и применим формулу разности квадратов к знаменателям:

$ \frac{2x}{x^2-64} + \frac{2x}{x^2-36} = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2x $ за скобку:

$ 2x \left( \frac{1}{x^2-64} + \frac{1}{x^2-36} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $ 2x = 0 $, откуда получаем первый корень $ x_1 = 0 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2) $ \frac{1}{x^2-64} + \frac{1}{x^2-36} = 0 $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x^2-64)(x^2-36) $:

$ \frac{x^2-36 + x^2-64}{(x^2-64)(x^2-36)} = 0 $

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Условие на знаменатель выполняется в рамках ОДЗ. Приравниваем числитель к нулю:

$ 2x^2 - 100 = 0 $

$ 2x^2 = 100 $

$ x^2 = 50 $

Отсюда находим еще два корня: $ x = \pm\sqrt{50} = \pm\sqrt{25 \cdot 2} = \pm5\sqrt{2} $.

Корни $ x_2 = 5\sqrt{2} $ и $ x_3 = -5\sqrt{2} $ также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 0; -5\sqrt{2}; 5\sqrt{2} $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x-1} = \frac{1}{x-4} - \frac{2}{x-3} $.

ОДЗ: $ x \ne 2, x \ne 1, x \ne 4, x \ne 3 $.

Приведем к общему знаменателю дроби в левой и правой частях уравнения.

Левая часть: $ \frac{3(x-1) - 4(x-2)}{(x-2)(x-1)} = \frac{3x-3-4x+8}{x^2-x-2x+2} = \frac{-x+5}{x^2-3x+2} $.

Правая часть: $ \frac{1(x-3) - 2(x-4)}{(x-4)(x-3)} = \frac{x-3-2x+8}{x^2-3x-4x+12} = \frac{-x+5}{x^2-7x+12} $.

Теперь уравнение имеет вид:

$ \frac{-x+5}{x^2-3x+2} = \frac{-x+5}{x^2-7x+12} $

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$ \frac{-x+5}{x^2-3x+2} - \frac{-x+5}{x^2-7x+12} = 0 $

Вынесем общий множитель $ (-x+5) $ за скобку:

$ (-x+5) \left( \frac{1}{x^2-3x+2} - \frac{1}{x^2-7x+12} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $ -x+5 = 0 $, откуда $ x_1 = 5 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

2) $ \frac{1}{x^2-3x+2} - \frac{1}{x^2-7x+12} = 0 $.

$ \frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{x^2-7x+12} $

Поскольку числители дробей равны (оба равны 1), то и их знаменатели должны быть равны:

$ x^2-3x+2 = x^2-7x+12 $

Вычтем $ x^2 $ из обеих частей:

$ -3x+2 = -7x+12 $

$ 7x-3x = 12-2 $

$ 4x = 10 $

$ x_2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5 $.

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 2,5; 5 $.