Номер 995, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

995. а) $ \frac{x+3}{x^2-x} - \frac{x+5}{x+x^2} = \frac{x-6}{1-x^2} $

б) $ \frac{5x}{3x+1} - \frac{1}{9x+3} = 1 \frac{1}{6} $

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x+3}{x^2-x} - \frac{x+5}{x+x^2} = \frac{x-6}{1-x^2} $

1. Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель. Также обратим внимание на знак в знаменателе последней дроби.

$ x^2-x = x(x-1) $

$ x+x^2 = x(x+1) $

$ 1-x^2 = (1-x)(1+x) = -(x-1)(x+1) $

Подставим разложенные знаменатели в уравнение:

$ \frac{x+3}{x(x-1)} - \frac{x+5}{x(x+1)} = \frac{x-6}{-(x-1)(x+1)} $

Избавимся от минуса в знаменателе правой части, поменяв знак перед дробью:

$ \frac{x+3}{x(x-1)} - \frac{x+5}{x(x+1)} = -\frac{x-6}{(x-1)(x+1)} $

2. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$ x \neq 0 $; $ x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $; $ x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq -1, x \neq 0, x \neq 1 $.

3. Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем их к общему знаменателю $ x(x-1)(x+1) $:

$ \frac{x+3}{x(x-1)} - \frac{x+5}{x(x+1)} + \frac{x-6}{(x-1)(x+1)} = 0 $

$ \frac{(x+3)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{(x+5)(x-1)}{x(x-1)(x+1)} + \frac{x(x-6)}{x(x-1)(x+1)} = 0 $

$ \frac{(x+3)(x+1) - (x+5)(x-1) + x(x-6)}{x(x-1)(x+1)} = 0 $

4. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что мы учли в ОДЗ). Приравняем числитель к нулю:

$ (x+3)(x+1) - (x+5)(x-1) + x(x-6) = 0 $

Раскроем скобки:

$ (x^2+x+3x+3) - (x^2-x+5x-5) + (x^2-6x) = 0 $

$ (x^2+4x+3) - (x^2+4x-5) + x^2-6x = 0 $

$ x^2+4x+3 - x^2-4x+5 + x^2-6x = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (x^2-x^2+x^2) + (4x-4x-6x) + (3+5) = 0 $

$ x^2 - 6x + 8 = 0 $

5. Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $ x_1 + x_2 = 6 $

Произведение корней: $ x_1 \cdot x_2 = 8 $

Легко подобрать корни: $ x_1=2 $ и $ x_2=4 $.

6. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($ x \neq -1, x \neq 0, x \neq 1 $).

Оба корня, $ x=2 $ и $ x=4 $, входят в область допустимых значений.

Ответ: 2; 4.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{5x}{3x+1} - \frac{1}{9x+3} = 1\frac{1}{6} $

1. Упростим уравнение. Для этого разложим знаменатель второй дроби на множители и представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$ 9x+3 = 3(3x+1) $

$ 1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6} $

Уравнение примет вид:

$ \frac{5x}{3x+1} - \frac{1}{3(3x+1)} = \frac{7}{6} $

2. Определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что знаменатель не должен быть равен нулю:

$ 3x+1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq -1 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{3} $.

3. Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $ 3(3x+1) $:

$ \frac{3 \cdot 5x}{3(3x+1)} - \frac{1}{3(3x+1)} = \frac{7}{6} $

$ \frac{15x - 1}{3(3x+1)} = \frac{7}{6} $

4. Решим получившееся уравнение как пропорцию (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ 6(15x - 1) = 7 \cdot 3(3x+1) $

$ 6(15x - 1) = 21(3x+1) $

Раскроем скобки:

$ 90x - 6 = 63x + 21 $

5. Сгруппируем слагаемые с переменной $ x $ в левой части, а свободные члены — в правой:

$ 90x - 63x = 21 + 6 $

$ 27x = 27 $

$ x = \frac{27}{27} $

$ x = 1 $

6. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($ x \neq -\frac{1}{3} $).

Корень $ x=1 $ входит в область допустимых значений.

Ответ: 1.