Номер 1002, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1002. a) $\sqrt[3]{x}=-1$;б) $\sqrt[4]{x}=2$;в) $\sqrt[3]{x+1}=2$;г) $\sqrt[3]{2x-1}=0$.

а) Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = -1$.
Чтобы найти значение $x$, необходимо возвести обе части уравнения в третью степень (так как корень кубический).
$(\sqrt[3]{x})^3 = (-1)^3$
$x = -1$
Поскольку показатель корня (3) — нечетное число, переменная под корнем может быть любым действительным числом, включая отрицательные. Поэтому полученное решение является корректным.
Проверка: Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение: $\sqrt[3]{-1} = -1$. Равенство верно.
Ответ: -1

б) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} = 2$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень.
$(\sqrt[4]{x})^4 = 2^4$
$x = 16$
Поскольку показатель корня (4) — четное число, подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), и значение самого корня также должно быть неотрицательным. В данном уравнении значение корня равно 2 (положительное число), что является допустимым. Найденный корень $x=16$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Проверка: Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение: $\sqrt[4]{16} = 2$. Равенство верно.
Ответ: 16

в) Дано уравнение $\sqrt[3]{x+1} = 2$.
Возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от знака корня.
$(\sqrt[3]{x+1})^3 = 2^3$
$x+1 = 8$
Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.
$x = 8 - 1$
$x = 7$
Проверка: Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение: $\sqrt[3]{7+1} = \sqrt[3]{8} = 2$. Равенство верно.
Ответ: 7

г) Дано уравнение $\sqrt[3]{2x-1} - 1 = 0$.
Сначала изолируем радикал (корень), перенеся -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$\sqrt[3]{2x-1} = 1$
Теперь возведем обе части уравнения в третью степень.
$(\sqrt[3]{2x-1})^3 = 1^3$
$2x-1 = 1$
Решим полученное линейное уравнение. Перенесем -1 в правую часть.
$2x = 1 + 1$
$2x = 2$
Разделим обе части уравнения на 2.
$x = \frac{2}{2}$
$x = 1$
Проверка: Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение: $\sqrt[3]{2(1)-1} - 1 = \sqrt[3]{2-1} - 1 = \sqrt[3]{1} - 1 = 1 - 1 = 0$. Равенство верно.
Ответ: 1