Номер 1009, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1009. a) $\begin{cases} xy(x+y) = 6, \\ x^3 + y^3 = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x+y=2, \\ x^2 + y^2 - 2 = 0. \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} xy(x+y) = 6, \\ x^3+y^3 = 9. \end{cases} $ Эта система является симметрической. Для ее решения введем новые переменные: пусть $u=x+y$ и $v=xy$. Преобразуем второе уравнение системы, используя формулу суммы кубов $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$. Выразим $x^2+y^2$ через $u$ и $v$: $x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = u^2-2v$. Тогда $x^3+y^3 = u((u^2-2v)-v) = u(u^2-3v)$. Теперь система уравнений в новых переменных $u$ и $v$ выглядит так: $ \begin{cases} uv = 6, \\ u(u^2-3v) = 9. \end{cases} $ Из первого уравнения выразим $v = \frac{6}{u}$ и подставим во второе уравнение: $u(u^2 - 3 \cdot \frac{6}{u}) = 9$. Раскроем скобки: $u^3 - 18 = 9$. Отсюда $u^3 = 27$, что дает $u=3$. Теперь найдем $v$: $v = \frac{6}{u} = \frac{6}{3} = 2$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы получили систему: $ \begin{cases} x+y = 3, \\ xy = 2. \end{cases} $ Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Решим это уравнение: $(t-1)(t-2)=0$. Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Следовательно, решениями исходной системы являются пары чисел $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x+y = 2, \\ x^2+y^2-2 = 0. \end{cases} $ Преобразуем второе уравнение: $x^2+y^2=2$. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 2-x$. Подставим это выражение во второе уравнение: $x^2 + (2-x)^2 = 2$. Раскроем скобки: $x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2$. Приведем подобные члены: $2x^2 - 4x + 2 = 0$. Разделим обе части уравнения на 2: $x^2 - 2x + 1 = 0$. Это уравнение является полным квадратом: $(x-1)^2 = 0$. Отсюда находим $x=1$. Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 2-x$: $y = 2 - 1 = 1$. Таким образом, решением системы является пара чисел $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$.