Номер 1016, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1016. а) $ \begin{cases} xy = 6, \\ yz = 3, \\ xz = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} yz = \frac{2}{3}x, \\ zx = \frac{3}{2}y, \\ xy = 6z. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy = 6 \\ yz = 3 \\ xz = 2 \end{cases} $$

Предположим, что $x, y, z$ не равны нулю, так как в противном случае произведения были бы равны нулю. Перемножим все три уравнения системы:

$(xy) \cdot (yz) \cdot (xz) = 6 \cdot 3 \cdot 2$

$x^2y^2z^2 = 36$

$(xyz)^2 = 36$

Отсюда следует, что $xyz$ может принимать два значения:

$xyz = 6$ или $xyz = -6$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $xyz = 6$

Чтобы найти каждую переменную, разделим это произведение на одно из исходных уравнений:

$z = \frac{xyz}{xy} = \frac{6}{6} = 1$

$x = \frac{xyz}{yz} = \frac{6}{3} = 2$

$y = \frac{xyz}{xz} = \frac{6}{2} = 3$

Получаем первое решение: $(2; 3; 1)$.

Случай 2: $xyz = -6$

Аналогично первому случаю:

$z = \frac{xyz}{xy} = \frac{-6}{6} = -1$

$x = \frac{xyz}{yz} = \frac{-6}{3} = -2$

$y = \frac{xyz}{xz} = \frac{-6}{2} = -3$

Получаем второе решение: $(-2; -3; -1)$.

Ответ: $(2; 3; 1)$, $(-2; -3; -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} yz = \frac{2}{3}x, \\ zx = \frac{3}{2}y, \\ xy = 6z. \end{cases} $$

Сразу можно заметить, что $x=0, y=0, z=0$ является решением системы. Проверим:

$0 \cdot 0 = \frac{2}{3} \cdot 0 \implies 0=0$

$0 \cdot 0 = \frac{3}{2} \cdot 0 \implies 0=0$

$0 \cdot 0 = 6 \cdot 0 \implies 0=0$

Таким образом, $(0; 0; 0)$ — одно из решений.

Теперь найдем ненулевые решения. Предположим, что $x, y, z \neq 0$.

Из третьего уравнения выразим $z$:

$z = \frac{xy}{6}$

Подставим это выражение в первое и второе уравнения системы.

Подстановка в первое уравнение:

$y \cdot (\frac{xy}{6}) = \frac{2}{3}x$

$\frac{xy^2}{6} = \frac{2}{3}x$

Так как $x \neq 0$, разделим обе части на $x$:

$\frac{y^2}{6} = \frac{2}{3} \implies y^2 = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4 \implies y = \pm 2$.

Подстановка во второе уравнение:

$x \cdot (\frac{xy}{6}) = \frac{3}{2}y$

$\frac{x^2y}{6} = \frac{3}{2}y$

Так как $y \neq 0$, разделим обе части на $y$:

$\frac{x^2}{6} = \frac{3}{2} \implies x^2 = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \implies x = \pm 3$.

Теперь у нас есть четыре возможные комбинации для $x$ и $y$. Для каждой из них найдем соответствующее значение $z$, используя формулу $z = \frac{xy}{6}$.

1. Если $x=3$ и $y=2$, то $z = \frac{3 \cdot 2}{6} = 1$. Решение: $(3; 2; 1)$.

2. Если $x=3$ и $y=-2$, то $z = \frac{3 \cdot (-2)}{6} = -1$. Решение: $(3; -2; -1)$.

3. Если $x=-3$ и $y=2$, то $z = \frac{(-3) \cdot 2}{6} = -1$. Решение: $(-3; 2; -1)$.

4. Если $x=-3$ и $y=-2$, то $z = \frac{(-3) \cdot (-2)}{6} = 1$. Решение: $(-3; -2; 1)$.

Таким образом, система имеет пять наборов решений.

Ответ: $(0; 0; 0)$, $(3; 2; 1)$, $(3; -2; -1)$, $(-3; 2; -1)$, $(-3; -2; 1)$.