Номер 1019, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1019. При каком значении $a$ сумма квадратов чисел, составляющих решение системы уравнений

$\begin{cases} x - 2y = a, \\ 2x - y = a + 1, \end{cases}$

будет наименьшей?

Для того чтобы найти значение параметра $a$, при котором сумма квадратов решения системы будет наименьшей, необходимо сначала выразить решение $(x, y)$ через $a$.

Дана система линейных уравнений:

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 2x - (a + 1)$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x - 2(2x - a - 1) = a$

$x - 4x + 2a + 2 = a$

$-3x = a - 2a - 2$

$-3x = -a - 2$

Умножим обе части на -1:

$3x = a + 2$

$x = \frac{a + 2}{3}$

Теперь найдем $y$, подставив полученное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 2\left(\frac{a + 2}{3}\right) - (a + 1)$

$y = \frac{2a + 4}{3} - \frac{3(a + 1)}{3}$

$y = \frac{2a + 4 - 3a - 3}{3}$

$y = \frac{1 - a}{3}$

Таким образом, решение системы уравнений выражается через параметр $a$ как $x = \frac{a + 2}{3}$ и $y = \frac{1 - a}{3}$.

Теперь нам нужно найти, при каком значении $a$ сумма квадратов этих чисел, $S = x^2 + y^2$, будет наименьшей. Составим функцию $S(a)$:

$S(a) = x^2 + y^2 = \left(\frac{a + 2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1 - a}{3}\right)^2$

Упростим это выражение:

$S(a) = \frac{(a + 2)^2}{9} + \frac{(1 - a)^2}{9}$

$S(a) = \frac{(a^2 + 4a + 4) + (1 - 2a + a^2)}{9}$

$S(a) = \frac{2a^2 + 2a + 5}{9}$

Функция $S(a) = \frac{2}{9}a^2 + \frac{2}{9}a + \frac{5}{9}$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($\frac{2}{9} > 0$). Следовательно, эта функция имеет точку минимума в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы вида $f(x)=Ax^2+Bx+C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A = \frac{2}{9}$ и $B = \frac{2}{9}$. Найдем значение $a$, соответствующее вершине параболы:

$a = -\frac{\frac{2}{9}}{2 \cdot \frac{2}{9}} = -\frac{\frac{2}{9}}{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, сумма квадратов чисел, составляющих решение системы, будет наименьшей при $a = -0.5$.

Ответ: $a = -0.5$