Номер 1021, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1021. Найдите числа $a$ и $b$, при которых прямые $x + y = -b$ и $x - ay - 2 = 0$:

а) пересекаются в точке $(1; 1);$

б) параллельны и не совпадают;

в) совпадают.

Даны два уравнения прямых: 1) $x + y = -b$ и 2) $x - ay - 2 = 0$.

Для анализа взаимного расположения прямых приведем их к общему виду $Ax + By + C = 0$.

Первое уравнение: $x + y + b = 0$. Здесь коэффициенты $A_1 = 1$, $B_1 = 1$, $C_1 = b$.

Второе уравнение: $x - ay - 2 = 0$. Здесь коэффициенты $A_2 = 1$, $B_2 = -a$, $C_2 = -2$.

Взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, определяется соотношением их коэффициентов: прямые пересекаются в одной точке, если $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$; прямые параллельны и не совпадают, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$; прямые совпадают, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

а) пересекаются в точке (1; 1)

Если прямые пересекаются в точке (1; 1), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям.

Подставим $x = 1$ и $y = 1$ в первое уравнение $x + y = -b$:

$1 + 1 = -b$

$2 = -b$

$b = -2$

Подставим $x = 1$ и $y = 1$ во второе уравнение $x - ay - 2 = 0$:

$1 - a \cdot 1 - 2 = 0$

$-1 - a = 0$

$a = -1$

Таким образом, чтобы прямые проходили через точку (1; 1), необходимо, чтобы $a = -1$ и $b = -2$. При этих значениях, как будет показано в пункте в), прямые совпадают, а значит, имеют бесконечно много общих точек, включая точку (1; 1).

Ответ: $a = -1$, $b = -2$.

б) параллельны и не совпадают

Для того чтобы прямые были параллельны и не совпадали, должно выполняться условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

Подставим наши коэффициенты:

$\frac{1}{1} = \frac{1}{-a} \neq \frac{b}{-2}$

Из первой части равенства $\frac{1}{1} = \frac{1}{-a}$ находим $a$:

$1 = \frac{1}{-a}$

$-a = 1$

$a = -1$

Из второй части, неравенства $\frac{1}{-a} \neq \frac{b}{-2}$, находим условие для $b$. Подставим найденное значение $a = -1$:

$\frac{1}{-(-1)} \neq \frac{b}{-2}$

$1 \neq \frac{b}{-2}$

$-2 \neq b$

Следовательно, прямые параллельны и не совпадают при $a = -1$ и любом значении $b$, не равном -2.

Ответ: $a = -1$, $b \neq -2$.

в) совпадают

Для того чтобы прямые совпадали, должно выполняться условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

Подставим наши коэффициенты:

$\frac{1}{1} = \frac{1}{-a} = \frac{b}{-2}$

Из равенства $\frac{1}{1} = \frac{1}{-a}$ находим $a$:

$1 = \frac{1}{-a} \Rightarrow -a = 1 \Rightarrow a = -1$

Из равенства $\frac{1}{1} = \frac{b}{-2}$ находим $b$:

$1 = \frac{b}{-2} \Rightarrow b = -2$

Следовательно, прямые совпадают при $a = -1$ и $b = -2$.

Ответ: $a = -1$, $b = -2$.