Номер 1015, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1015. a) $\begin{cases} x + y^2 = 3; \\ x^2 + y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + xy = y^2, \\ x - y^2 = 0. \end{cases}$

а)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y^2 = 3 \\ x^2 + y = 3 \end{cases} $$ Правые части уравнений равны, поэтому можно приравнять их левые части: $x + y^2 = x^2 + y$
Перенесем все слагаемые в одну сторону: $x - x^2 + y^2 - y = 0$
Сгруппируем слагаемые и разложим на множители: $(x^2 - y^2) - (x - y) = 0$
$(x - y)(x + y) - (x - y) = 0$
$(x - y)(x + y - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $x - y = 0 \implies x = y$
2) $x + y - 1 = 0 \implies y = 1 - x$

Рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $x = y$.
Подставим $y = x$ в первое уравнение системы $x + y^2 = 3$: $x + x^2 = 3$
$x^2 + x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$
Так как $x = y$, получаем две пары решений: $(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{2})$ и $(\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{13}}{2})$.

Случай 2: $y = 1 - x$.
Подставим $y = 1 - x$ в первое уравнение системы $x + y^2 = 3$: $x + (1 - x)^2 = 3$
$x + 1 - 2x + x^2 = 3$
$x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение можно решить, разложив на множители: $(x - 2)(x + 1) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Находим соответствующие значения $y$:
При $x = 2$, $y = 1 - 2 = -1$. Решение: $(2, -1)$.
При $x = -1$, $y = 1 - (-1) = 2$. Решение: $(-1, 2)$.

Всего система имеет четыре решения.
Ответ: $(2, -1)$, $(-1, 2)$, $(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{2})$, $(\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{13}}{2})$.

б)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy = y^2 \\ x - y^2 = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$: $x = y^2$
Поскольку $y^2$ всегда неотрицательно, то и $x \ge 0$.
Подставим выражение $x = y^2$ в первое уравнение системы: $(y^2)^2 + (y^2)y = y^2$
$y^4 + y^3 = y^2$
Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $y^2$: $y^4 + y^3 - y^2 = 0$
$y^2(y^2 + y - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $y^2 = 0 \implies y = 0$
2) $y^2 + y - 1 = 0$

Рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $y = 0$.
Найдем соответствующее значение $x$ из $x = y^2$: $x = 0^2 = 0$.
Получаем решение $(0, 0)$.

Случай 2: $y^2 + y - 1 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
$y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Получаем два значения для $y$: $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.
Найдем соответствующие значения $x = y^2$:
При $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$:
$x_1 = (\frac{-1 + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
Решение: $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$.
При $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$:
$x_2 = (\frac{-1 - \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
Решение: $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2})$.

Всего система имеет три решения.
Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$, $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2})$.