Номер 1017, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1017. a) $\begin{cases} (x - 5)(x + y) = -20 \\ (y - 8)(x + y) = -10 \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 3y - 6)y - 2x = 0 \\ (2x + y - 12)y - 2x = 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x + 10)(y - 12) = 0 \\ \frac{y^2 - 160}{y - 2x} = 0,2x \end{cases}$

г) $\begin{cases} xy + 5(x - y) = 7 \\ x^2 + y^2 + 5(x - y) = 10 \end{cases}$

д) $\begin{cases} x^2 + y^2 + x - y = 44 \\ \frac{y}{2} - \frac{2}{x} = 1 - \frac{y}{x} \end{cases}$

е) $\begin{cases} x + y = xy \\ xy = x^2 + y^2 \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 2x^2 - 4xy + 3y^2 = 36 \\ 3x^2 - 4xy + 2y^2 = 36 \end{cases}$

з) $\begin{cases} 2x^2 - 3xy + 3y^2 = 128 \\ 3x^2 - 3xy + 2y^2 = 128 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x-5)(x+y) = -20 \\ (y-8)(x+y) = -10 \end{cases} $
Заметим, что $x+y \neq 0$, иначе левые части уравнений равнялись бы нулю, что неверно. Разделим первое уравнение на второе:
$ \frac{(x-5)(x+y)}{(y-8)(x+y)} = \frac{-20}{-10} $
$ \frac{x-5}{y-8} = 2 $
Выразим $x$ через $y$, при условии $y \neq 8$:
$ x-5 = 2(y-8) $
$ x-5 = 2y - 16 $
$ x = 2y - 11 $
Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:
$ (y-8)( (2y-11) + y ) = -10 $
$ (y-8)(3y-11) = -10 $
$ 3y^2 - 11y - 24y + 88 = -10 $
$ 3y^2 - 35y + 98 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:
$ D = (-35)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 98 = 1225 - 1176 = 49 = 7^2 $
Корни для $y$:
$ y_1 = \frac{35+7}{2 \cdot 3} = \frac{42}{6} = 7 $
$ y_2 = \frac{35-7}{2 \cdot 3} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} $
Теперь найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 2y - 11$:
При $y_1 = 7$: $x_1 = 2 \cdot 7 - 11 = 14 - 11 = 3$.
При $y_2 = \frac{14}{3}$: $x_2 = 2 \cdot \frac{14}{3} - 11 = \frac{28}{3} - \frac{33}{3} = -\frac{5}{3}$.
Получили две пары решений.
Ответ: $(3; 7)$, $(-\frac{5}{3}; \frac{14}{3})$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x+3y-6)y - 2x = 0 \\ (2x+y-12)y - 2x = 0 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$ ((x+3y-6)y - 2x) - ((2x+y-12)y - 2x) = 0 $
$ (x+3y-6)y - (2x+y-12)y = 0 $
$ y( (x+3y-6) - (2x+y-12) ) = 0 $
$ y( x+3y-6 - 2x-y+12 ) = 0 $
$ y( -x+2y+6 ) = 0 $
Это уравнение распадается на два случая:
1) $y=0$
2) $-x+2y+6 = 0 \implies x = 2y+6$
Рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $y=0$. Подставим в первое уравнение системы:
$ (x+3(0)-6)(0) - 2x = 0 \implies -2x = 0 \implies x=0 $.
Получили решение $(0; 0)$.
Случай 2: $x = 2y+6$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$ ((2y+6)+3y-6)y - 2(2y+6) = 0 $
$ (5y)y - 4y - 12 = 0 $
$ 5y^2 - 4y - 12 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2 $
Корни для $y$:
$ y_1 = \frac{4+16}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2 $
$ y_2 = \frac{4-16}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5} $
Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 2y+6$:
При $y_1=2$: $x_1 = 2(2)+6 = 10$. Решение: $(10; 2)$.
При $y_2=-\frac{6}{5}$: $x_2 = 2(-\frac{6}{5})+6 = -\frac{12}{5} + \frac{30}{5} = \frac{18}{5}$. Решение: $(\frac{18}{5}; -\frac{6}{5})$.
Ответ: $(0; 0)$, $(10; 2)$, $(\frac{18}{5}; -\frac{6}{5})$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x+10)(y-12) = 0 \\ \frac{y^2-160}{y-2x} = 0.2x \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что $x+10=0$ или $y-12=0$.
Случай 1: $x=-10$.
Подставим во второе уравнение. Область допустимых значений: $y-2x \neq 0 \implies y-2(-10) \neq 0 \implies y \neq -20$.
$ \frac{y^2-160}{y+20} = 0.2(-10) $
$ y^2-160 = -2(y+20) $
$ y^2-160 = -2y-40 $
$ y^2+2y-120 = 0 $
По теореме Виета, корни $y_1=10$ и $y_2=-12$. Оба корня удовлетворяют условию $y \neq -20$.
Получаем два решения: $(-10; 10)$ и $(-10; -12)$.
Случай 2: $y=12$.
Подставим во второе уравнение. ОДЗ: $y-2x \neq 0 \implies 12-2x \neq 0 \implies x \neq 6$.
$ \frac{12^2-160}{12-2x} = 0.2x $
$ \frac{144-160}{12-2x} = 0.2x $
$ \frac{-16}{12-2x} = 0.2x $
$ -16 = 0.2x(12-2x) $
$ -16 = 2.4x - 0.4x^2 $
$ 0.4x^2 - 2.4x - 16 = 0 $
Умножим на 10: $4x^2 - 24x - 160 = 0$. Разделим на 4: $x^2 - 6x - 40 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1=10$ и $x_2=-4$. Оба корня удовлетворяют условию $x \neq 6$.
Получаем еще два решения: $(10; 12)$ и $(-4; 12)$.
Ответ: $(-10; 10)$, $(-10; -12)$, $(10; 12)$, $(-4; 12)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} xy + 5(x-y) = 7 \\ x^2+y^2+5(x-y) = 10 \end{cases} $
Выразим $5(x-y)$ из первого уравнения: $5(x-y) = 7 - xy$.
Подставим во второе уравнение:
$ x^2+y^2 + (7-xy) = 10 $
$ x^2-xy+y^2 = 3 $
Теперь преобразуем $x^2-xy+y^2$, используя $x-y$:
$ (x-y)^2+2xy-xy = 3 \implies (x-y)^2 + xy = 3 $
Сделаем замену: пусть $u = x-y$ и $v = xy$. Система примет вид:
$ \begin{cases} v + 5u = 7 \\ u^2 + v = 3 \end{cases} $
Из второго уравнения $v = 3 - u^2$. Подставим в первое:
$ (3-u^2) + 5u = 7 $
$ -u^2 + 5u - 4 = 0 $
$ u^2 - 5u + 4 = 0 $
По теореме Виета, $u_1=1, u_2=4$.
Найдем соответствующие значения $v$:
Если $u_1=1$, то $v_1 = 3 - 1^2 = 2$.
Если $u_2=4$, то $v_2 = 3 - 4^2 = 3 - 16 = -13$.
Теперь вернемся к переменным $x, y$.
Случай 1: $x-y=1$ и $xy=2$.
Из $x-y=1$ имеем $x=y+1$. Подставляем в $xy=2$:
$ (y+1)y=2 \implies y^2+y-2=0 $. Корни: $y_1=1, y_2=-2$.
Если $y_1=1$, то $x_1=1+1=2$. Решение: $(2; 1)$.
Если $y_2=-2$, то $x_2=-2+1=-1$. Решение: $(-1; -2)$.
Случай 2: $x-y=4$ и $xy=-13$.
Из $x-y=4$ имеем $x=y+4$. Подставляем в $xy=-13$:
$ (y+4)y=-13 \implies y^2+4y+13=0 $.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16-52 = -36 < 0$. Действительных корней нет.
Ответ: $(2; 1)$, $(-1; -2)$.

д)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2+y^2+x-y = 44 \\ \frac{y}{2} - \frac{2}{x} = 1 - \frac{y}{x} \end{cases} $
ОДЗ: $x \neq 0$. Упростим второе уравнение, умножив его на $2x$:
$ \frac{y}{2} \cdot 2x - \frac{2}{x} \cdot 2x = 1 \cdot 2x - \frac{y}{x} \cdot 2x $
$ xy - 4 = 2x - 2y $
$ xy + 2y - 2x - 4 = 0 $
$ y(x+2) - 2(x+2) = 0 $
$ (y-2)(x+2) = 0 $
Это уравнение распадается на два случая:
1) $y-2=0 \implies y=2$
2) $x+2=0 \implies x=-2$
Рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $y=2$. Подставим в первое уравнение системы:
$ x^2+2^2+x-2=44 $
$ x^2+x+2=44 $
$ x^2+x-42=0 $
По теореме Виета, корни $x_1=6, x_2=-7$.
Получаем два решения: $(6; 2)$ и $(-7; 2)$.
Случай 2: $x=-2$. Подставим в первое уравнение системы:
$ (-2)^2+y^2+(-2)-y=44 $
$ 4+y^2-2-y=44 $
$ y^2-y-42=0 $
По теореме Виета, корни $y_1=7, y_2=-6$.
Получаем еще два решения: $(-2; 7)$ и $(-2; -6)$.
Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ $x \neq 0$.
Ответ: $(6; 2)$, $(-7; 2)$, $(-2; 7)$, $(-2; -6)$.

е)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x+y = xy \\ xy = x^2+y^2 \end{cases} $
Из системы следует, что $x+y = x^2+y^2$.
Используем стандартную замену для симметричных систем: $u=x+y$, $v=xy$.
Тогда $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.
Система в новых переменных: $ \begin{cases} u = v \\ v = u^2 - 2v \end{cases} $
Так как $u=v$, подставим $u$ вместо $v$ во второе уравнение:
$ u = u^2 - 2u $
$ u^2 - 3u = 0 $
$ u(u-3) = 0 $
Отсюда $u=0$ или $u=3$.
Случай 1: $u=0$. Тогда и $v=0$.
Возвращаемся к переменным $x, y$:
$ x+y=0 $ и $ xy=0 $.
Из $xy=0$ следует, что $x=0$ или $y=0$. Если $x=0$, то из $x+y=0$ получаем $y=0$. Если $y=0$, то $x=0$.
Единственное решение в этом случае: $(0; 0)$.
Случай 2: $u=3$. Тогда и $v=3$.
Возвращаемся к переменным $x, y$:
$ x+y=3 $ и $ xy=3 $.
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, то есть $t^2 - 3t + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0$. Действительных корней нет.
Ответ: $(0; 0)$.

ж)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - 4xy + 3y^2 = 36 \\ 3x^2 - 4xy + 2y^2 = 36 \end{cases} $
Приравняем левые части уравнений, так как их правые части равны:
$ 2x^2 - 4xy + 3y^2 = 3x^2 - 4xy + 2y^2 $
$ y^2 = x^2 $
Отсюда следует, что $y=x$ или $y=-x$.
Случай 1: $y=x$. Подставим в первое уравнение системы:
$ 2x^2 - 4x(x) + 3x^2 = 36 $
$ 2x^2 - 4x^2 + 3x^2 = 36 $
$ x^2 = 36 \implies x = \pm 6 $.
Если $x=6$, то $y=6$. Решение: $(6; 6)$.
Если $x=-6$, то $y=-6$. Решение: $(-6; -6)$.
Случай 2: $y=-x$. Подставим в первое уравнение системы:
$ 2x^2 - 4x(-x) + 3(-x)^2 = 36 $
$ 2x^2 + 4x^2 + 3x^2 = 36 $
$ 9x^2 = 36 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 $.
Если $x=2$, то $y=-2$. Решение: $(2; -2)$.
Если $x=-2$, то $y=2$. Решение: $(-2; 2)$.
Ответ: $(6; 6)$, $(-6; -6)$, $(2; -2)$, $(-2; 2)$.

з)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - 3xy + 3y^2 = 128 \\ 3x^2 - 3xy + 2y^2 = 128 \end{cases} $
Приравняем левые части уравнений:
$ 2x^2 - 3xy + 3y^2 = 3x^2 - 3xy + 2y^2 $
$ y^2 = x^2 $
Отсюда следует, что $y=x$ или $y=-x$.
Случай 1: $y=x$. Подставим в первое уравнение системы:
$ 2x^2 - 3x(x) + 3x^2 = 128 $
$ 2x^2 - 3x^2 + 3x^2 = 128 $
$ 2x^2 = 128 \implies x^2 = 64 \implies x = \pm 8 $.
Если $x=8$, то $y=8$. Решение: $(8; 8)$.
Если $x=-8$, то $y=-8$. Решение: $(-8; -8)$.
Случай 2: $y=-x$. Подставим в первое уравнение системы:
$ 2x^2 - 3x(-x) + 3(-x)^2 = 128 $
$ 2x^2 + 3x^2 + 3x^2 = 128 $
$ 8x^2 = 128 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $.
Если $x=4$, то $y=-4$. Решение: $(4; -4)$.
Если $x=-4$, то $y=4$. Решение: $(-4; 4)$.
Ответ: $(8; 8)$, $(-8; -8)$, $(4; -4)$, $(-4; 4)$.