Номер 1010, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1010. a) $\begin{cases} \frac{y-3}{x+2} = \frac{1}{3}, \\ xy + 3x + 4y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{y-1} + \frac{y-1}{x} = 2, \\ 2x - 3y = 5. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{y-3}{x+2} = \frac{1}{3} \\ xy + 3x + 4y = 0 \end{cases} $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби в первом уравнении не должен быть равен нулю: $x + 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

2. Преобразуем первое уравнение, используя свойство пропорции:

$3(y-3) = 1(x+2)$

$3y - 9 = x + 2$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 3y - 11$

3. Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(3y - 11)y + 3(3y - 11) + 4y = 0$

4. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$3y^2 - 11y + 9y - 33 + 4y = 0$

$3y^2 + ( -11 + 9 + 4)y - 33 = 0$

$3y^2 + 2y - 33 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-33) = 4 + 396 = 400 = 20^2$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-22}{6} = -\frac{11}{3}$

5. Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$, используя формулу $x = 3y - 11$:

При $y_1 = 3$:

$x_1 = 3 \cdot 3 - 11 = 9 - 11 = -2$

Это значение $x_1 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -2$), поэтому пара чисел $(-2; 3)$ не является решением системы.

При $y_2 = -\frac{11}{3}$:

$x_2 = 3 \cdot (-\frac{11}{3}) - 11 = -11 - 11 = -22$

Это значение $x_2 = -22$ удовлетворяет ОДЗ. Проверим пару чисел $(-22; -\frac{11}{3})$, подставив ее в исходную систему, чтобы убедиться в правильности.

Первое уравнение: $\frac{-11/3 - 3}{-22+2} = \frac{-11/3 - 9/3}{-20} = \frac{-20/3}{-20} = \frac{1}{3}$. Верно.

Второе уравнение: $(-22)(-\frac{11}{3}) + 3(-22) + 4(-\frac{11}{3}) = \frac{242}{3} - 66 - \frac{44}{3} = \frac{198}{3} - 66 = 66 - 66 = 0$. Верно.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: $(-22; -\frac{11}{3})$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y-1} + \frac{y-1}{x} = 2 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases} $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $x \neq 0$ и $y-1 \neq 0$, то есть $y \neq 1$.

2. Преобразуем первое уравнение. Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому. Сделаем замену: пусть $t = \frac{x}{y-1}$. Тогда уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$

3. Решим это уравнение относительно $t$. Умножим обе части на $t$ (так как $x \neq 0$, то и $t \neq 0$):

$t^2 + 1 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t = 1$

4. Вернемся к исходным переменным:

$\frac{x}{y-1} = 1$

Отсюда получаем $x = y-1$.

5. Теперь у нас есть более простая система линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x = y-1 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases} $$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$2(y-1) - 3y = 5$

$2y - 2 - 3y = 5$

$-y = 7$

$y = -7$

6. Найдем соответствующее значение $x$:

$x = y - 1 = -7 - 1 = -8$

7. Полученное решение $(-8; -7)$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$ и $y \neq 1$).

Ответ: $(-8; -7)$.