Страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1006. Решите уравнение:

а) $\sqrt{3x+1} = \sqrt{4x+1}$;

б) $\sqrt{2x+1} = 3x+1$;

в) $\sqrt{\frac{x+2}{2}} = x+1$;

г) $\sqrt{\frac{x+1}{3}} = x-1$;

д) $x-5\sqrt{x}-6 = 0$;

е) $x-6\sqrt{x}-7 = 0$.

а) $\sqrt{3x+1} = \sqrt{4x+1}$

Чтобы решить данное уравнение, необходимо, чтобы подкоренные выражения были равны и неотрицательны. Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ (или $g(x) \ge 0$)

Применим это к нашему уравнению:

$\begin{cases} 3x+1 = 4x+1 \\ 3x+1 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение:

$3x+1 = 4x+1$

$3x - 4x = 1 - 1$

$-x = 0$

$x = 0$

Теперь подставим найденное значение $x$ в неравенство (проверим область допустимых значений):

$3 \cdot 0 + 1 \ge 0$

$1 \ge 0$

Неравенство верное, значит, корень $x=0$ подходит.

Ответ: $0$.

б) $\sqrt{2x+1} = 3x+1$

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

Применим это к нашему уравнению:

$\begin{cases} 2x+1 = (3x+1)^2 \\ 3x+1 \ge 0 \end{cases}$

Решим сначала неравенство, чтобы определить область допустимых значений для $x$:

$3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -1/3$

Теперь решим уравнение:

$2x+1 = (3x+1)^2$

$2x+1 = 9x^2 + 6x + 1$

$9x^2 + 6x - 2x + 1 - 1 = 0$

$9x^2 + 4x = 0$

$x(9x+4) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $9x+4 = 0 \implies x_2 = -4/9$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge -1/3$:

Для $x_1 = 0$: $0 \ge -1/3$. Это верно, значит $x=0$ является решением.

Для $x_2 = -4/9$: $-4/9 \approx -0.44$, а $-1/3 \approx -0.33$. Так как $-4/9 < -1/3$, этот корень не удовлетворяет условию и является посторонним.

Ответ: $0$.

в) $\sqrt{\frac{x+2}{2}} = x+1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{x+2}{2} = (x+1)^2 \\ x+1 \ge 0 \end{cases}$

Из неравенства $x+1 \ge 0$ следует, что $x \ge -1$.

Решим уравнение:

$\frac{x+2}{2} = x^2 + 2x + 1$

$x+2 = 2(x^2 + 2x + 1)$

$x+2 = 2x^2 + 4x + 2$

$2x^2 + 4x - x + 2 - 2 = 0$

$2x^2 + 3x = 0$

$x(2x+3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $2x+3 = 0 \implies x_2 = -3/2$.

Проверим корни по условию $x \ge -1$:

Для $x_1 = 0$: $0 \ge -1$. Верно.

Для $x_2 = -3/2 = -1.5$: $-1.5 \ge -1$. Неверно. Это посторонний корень.

Ответ: $0$.

г) $\sqrt{\frac{x+1}{3}} = x-1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{x+1}{3} = (x-1)^2 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$

Из неравенства $x-1 \ge 0$ следует, что $x \ge 1$.

Решим уравнение:

$\frac{x+1}{3} = x^2 - 2x + 1$

$x+1 = 3(x^2 - 2x + 1)$

$x+1 = 3x^2 - 6x + 3$

$3x^2 - 7x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$

$x_1 = \frac{7+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6} = 1/3$

Проверим корни по условию $x \ge 1$:

Для $x_1 = 2$: $2 \ge 1$. Верно.

Для $x_2 = 1/3$: $1/3 \ge 1$. Неверно. Это посторонний корень.

Ответ: $2$.

д) $x - 5\sqrt{x} - 6 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$.

Это уравнение можно свести к квадратному, сделав замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 5t - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение равно $-6$. Корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:

$t_1 = 6$ подходит.

$t_2 = -1$ не подходит, так как $-1 < 0$.

Выполним обратную замену для подходящего корня:

$\sqrt{x} = 6$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 36$

Найденный корень $x=36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 \ge 0$).

Ответ: $36$.

е) $x - 6\sqrt{x} - 7 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 6t - 7 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $-7$. Корни: $t_1 = 7$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:

$t_1 = 7$ подходит.

$t_2 = -1$ не подходит.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 7$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 49$

Найденный корень $x=49$ удовлетворяет ОДЗ ($49 \ge 0$).

Ответ: $49$.

Системы уравнений

Решите систему уравнений (1007–1018):

1007. a) $\begin{cases}2x + 3y = 4, \\4x - 6y = 5;\end{cases}$

б) $\begin{cases}9x - 10y = 3, \\2x - 3y = 6;\end{cases}$

в) $\begin{cases}5x + 4y = 6, \\7x + 6y = 10;\end{cases}$

г) $\begin{cases}5x + 3y = 15, \\10x - 6y = 0.\end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 4, \\ 4x - 6y = 5; \end{cases} $

Для решения используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$2 \cdot (2x + 3y) = 2 \cdot 4$

$4x + 6y = 8$

Теперь исходная система равносильна следующей системе:

$ \begin{cases} 4x + 6y = 8, \\ 4x - 6y = 5; \end{cases} $

Сложим почленно два уравнения системы:

$(4x + 6y) + (4x - 6y) = 8 + 5$

$8x = 13$

$x = \frac{13}{8}$

Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$2 \cdot (\frac{13}{8}) + 3y = 4$

$\frac{26}{8} + 3y = 4$

$\frac{13}{4} + 3y = 4$

$3y = 4 - \frac{13}{4}$

$3y = \frac{16}{4} - \frac{13}{4}$

$3y = \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4} \div 3 = \frac{1}{4}$

Ответ: $(\frac{13}{8}; \frac{1}{4})$

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 9x - 10y = 3, \\ 2x - 3y = 6; \end{cases} $

Используем метод сложения для исключения переменной $y$. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на -10, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$3 \cdot (9x - 10y) = 3 \cdot 3 \implies 27x - 30y = 9$

$-10 \cdot (2x - 3y) = -10 \cdot 6 \implies -20x + 30y = -60$

Получаем новую систему, равносильную исходной:

$ \begin{cases} 27x - 30y = 9, \\ -20x + 30y = -60; \end{cases} $

Сложим почленно уравнения системы:

$(27x - 30y) + (-20x + 30y) = 9 + (-60)$

$7x = -51$

$x = -\frac{51}{7}$

Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение:

$2 \cdot (-\frac{51}{7}) - 3y = 6$

$-\frac{102}{7} - 3y = 6$

$-3y = 6 + \frac{102}{7}$

$-3y = \frac{42}{7} + \frac{102}{7}$

$-3y = \frac{144}{7}$

$y = \frac{144}{7} \div (-3) = -\frac{144}{7 \cdot 3} = -\frac{48}{7}$

Ответ: $(-\frac{51}{7}; -\frac{48}{7})$

в) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 4y = 6, \\ 7x + 6y = 10; \end{cases} $

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$3 \cdot (5x + 4y) = 3 \cdot 6 \implies 15x + 12y = 18$

$-2 \cdot (7x + 6y) = -2 \cdot 10 \implies -14x - 12y = -20$

Получаем систему:

$ \begin{cases} 15x + 12y = 18, \\ -14x - 12y = -20; \end{cases} $

Складываем почленно уравнения полученной системы:

$(15x + 12y) + (-14x - 12y) = 18 + (-20)$

$x = -2$

Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение:

$5(-2) + 4y = 6$

$-10 + 4y = 6$

$4y = 6 + 10$

$4y = 16$

$y = 4$

Ответ: $(-2; 4)$

г) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 3y = 15, \\ 10x - 6y = 0; \end{cases} $

Заметим, что второе уравнение можно упростить, разделив обе его части на 2:

$5x - 3y = 0$

Из этого уравнения можно выразить $5x$:

$5x = 3y$

Теперь используем метод подстановки. Подставим выражение $3y$ вместо $5x$ в первое уравнение системы:

$(3y) + 3y = 15$

$6y = 15$

$y = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

Теперь найдем $x$, подставив найденное значение $y$ в выражение $5x = 3y$:

$5x = 3 \cdot \frac{5}{2}$

$5x = \frac{15}{2}$

$x = \frac{15}{2} \div 5 = \frac{15}{2 \cdot 5} = \frac{3}{2}$

Ответ: $(\frac{3}{2}; \frac{5}{2})$

1008. a) $\begin{cases} x^2 + y = 4, \\ x + y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x + y^2 = 13. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y = 4, \\ x + y = 2 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 2 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 + (2 - x) = 4$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - x + 2 - 4 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$\sqrt{D} = 3$

Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-1) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-(-1) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = 2 - x$.
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 - 2 = 0$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$.

Таким образом, система имеет два решения: $(2, 0)$ и $(-1, 3)$.

Ответ: $(2, 0), (-1, 3)$.

б) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x + y^2 = 13 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:
$x = 5 - y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$(5 - y) + y^2 = 13$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду и решим его относительно $y$:
$y^2 - y + 5 - 13 = 0$
$y^2 - y - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 1 + 32 = 33$

Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{33}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$
$y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{33}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = 5 - y$.
Если $y_1 = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$, то $x_1 = 5 - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} = \frac{10 - (1 + \sqrt{33})}{2} = \frac{9 - \sqrt{33}}{2}$.
Если $y_2 = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$, то $x_2 = 5 - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} = \frac{10 - (1 - \sqrt{33})}{2} = \frac{9 + \sqrt{33}}{2}$.

Таким образом, система имеет два решения: $(\frac{9 - \sqrt{33}}{2}, \frac{1 + \sqrt{33}}{2})$ и $(\frac{9 + \sqrt{33}}{2}, \frac{1 - \sqrt{33}}{2})$.

Ответ: $(\frac{9 - \sqrt{33}}{2}, \frac{1 + \sqrt{33}}{2}), (\frac{9 + \sqrt{33}}{2}, \frac{1 - \sqrt{33}}{2})$.

1009. a) $\begin{cases} xy(x+y) = 6, \\ x^3 + y^3 = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x+y=2, \\ x^2 + y^2 - 2 = 0. \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} xy(x+y) = 6, \\ x^3+y^3 = 9. \end{cases} $ Эта система является симметрической. Для ее решения введем новые переменные: пусть $u=x+y$ и $v=xy$. Преобразуем второе уравнение системы, используя формулу суммы кубов $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$. Выразим $x^2+y^2$ через $u$ и $v$: $x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = u^2-2v$. Тогда $x^3+y^3 = u((u^2-2v)-v) = u(u^2-3v)$. Теперь система уравнений в новых переменных $u$ и $v$ выглядит так: $ \begin{cases} uv = 6, \\ u(u^2-3v) = 9. \end{cases} $ Из первого уравнения выразим $v = \frac{6}{u}$ и подставим во второе уравнение: $u(u^2 - 3 \cdot \frac{6}{u}) = 9$. Раскроем скобки: $u^3 - 18 = 9$. Отсюда $u^3 = 27$, что дает $u=3$. Теперь найдем $v$: $v = \frac{6}{u} = \frac{6}{3} = 2$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы получили систему: $ \begin{cases} x+y = 3, \\ xy = 2. \end{cases} $ Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Решим это уравнение: $(t-1)(t-2)=0$. Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Следовательно, решениями исходной системы являются пары чисел $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x+y = 2, \\ x^2+y^2-2 = 0. \end{cases} $ Преобразуем второе уравнение: $x^2+y^2=2$. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 2-x$. Подставим это выражение во второе уравнение: $x^2 + (2-x)^2 = 2$. Раскроем скобки: $x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2$. Приведем подобные члены: $2x^2 - 4x + 2 = 0$. Разделим обе части уравнения на 2: $x^2 - 2x + 1 = 0$. Это уравнение является полным квадратом: $(x-1)^2 = 0$. Отсюда находим $x=1$. Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 2-x$: $y = 2 - 1 = 1$. Таким образом, решением системы является пара чисел $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$.

1010. a) $\begin{cases} \frac{y-3}{x+2} = \frac{1}{3}, \\ xy + 3x + 4y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{y-1} + \frac{y-1}{x} = 2, \\ 2x - 3y = 5. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{y-3}{x+2} = \frac{1}{3} \\ xy + 3x + 4y = 0 \end{cases} $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби в первом уравнении не должен быть равен нулю: $x + 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

2. Преобразуем первое уравнение, используя свойство пропорции:

$3(y-3) = 1(x+2)$

$3y - 9 = x + 2$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 3y - 11$

3. Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(3y - 11)y + 3(3y - 11) + 4y = 0$

4. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$3y^2 - 11y + 9y - 33 + 4y = 0$

$3y^2 + ( -11 + 9 + 4)y - 33 = 0$

$3y^2 + 2y - 33 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-33) = 4 + 396 = 400 = 20^2$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-22}{6} = -\frac{11}{3}$

5. Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$, используя формулу $x = 3y - 11$:

При $y_1 = 3$:

$x_1 = 3 \cdot 3 - 11 = 9 - 11 = -2$

Это значение $x_1 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -2$), поэтому пара чисел $(-2; 3)$ не является решением системы.

При $y_2 = -\frac{11}{3}$:

$x_2 = 3 \cdot (-\frac{11}{3}) - 11 = -11 - 11 = -22$

Это значение $x_2 = -22$ удовлетворяет ОДЗ. Проверим пару чисел $(-22; -\frac{11}{3})$, подставив ее в исходную систему, чтобы убедиться в правильности.

Первое уравнение: $\frac{-11/3 - 3}{-22+2} = \frac{-11/3 - 9/3}{-20} = \frac{-20/3}{-20} = \frac{1}{3}$. Верно.

Второе уравнение: $(-22)(-\frac{11}{3}) + 3(-22) + 4(-\frac{11}{3}) = \frac{242}{3} - 66 - \frac{44}{3} = \frac{198}{3} - 66 = 66 - 66 = 0$. Верно.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: $(-22; -\frac{11}{3})$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y-1} + \frac{y-1}{x} = 2 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases} $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $x \neq 0$ и $y-1 \neq 0$, то есть $y \neq 1$.

2. Преобразуем первое уравнение. Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому. Сделаем замену: пусть $t = \frac{x}{y-1}$. Тогда уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$

3. Решим это уравнение относительно $t$. Умножим обе части на $t$ (так как $x \neq 0$, то и $t \neq 0$):

$t^2 + 1 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t = 1$

4. Вернемся к исходным переменным:

$\frac{x}{y-1} = 1$

Отсюда получаем $x = y-1$.

5. Теперь у нас есть более простая система линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x = y-1 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases} $$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$2(y-1) - 3y = 5$

$2y - 2 - 3y = 5$

$-y = 7$

$y = -7$

6. Найдем соответствующее значение $x$:

$x = y - 1 = -7 - 1 = -8$

7. Полученное решение $(-8; -7)$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$ и $y \neq 1$).

Ответ: $(-8; -7)$.

1011. а) $\begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x^2y + xy^2 = 30; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 4, \\ x + xy + y = 2. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x^2y + xy^2 = 30. \end{cases} $$

Эта система является симметрической, поэтому удобно использовать замену переменных. Введем новые переменные $u = x+y$ и $v = xy$, которые являются элементарными симметрическими многочленами.

Преобразуем оба уравнения системы, выразив их через $u$ и $v$.
Первое уравнение: $(x+y) + xy = 11$, что соответствует $u + v = 11$.
Второе уравнение: $x^2y + xy^2 = 30$. Вынесем за скобки общий множитель $xy$: $xy(x+y) = 30$, что соответствует $v \cdot u = 30$.

В результате получаем новую, более простую систему уравнений относительно $u$ и $v$: $$ \begin{cases} u + v = 11, \\ uv = 30. \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, числа $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 11t + 30 = 0$.
Найдем корни этого уравнения:
Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.
Корни: $t_1 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5$ и $t_2 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Таким образом, мы имеем два возможных набора значений для $(u, v)$:
1) $u = 5$ и $v = 6$.
2) $u = 6$ и $v = 5$.

Теперь рассмотрим каждый случай, чтобы найти значения $x$ и $y$.

Случай 1: $u = 5, v = 6$.
Возвращаемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6. \end{cases} $$
Опять же, по обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — это корни квадратного уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$.
Корни этого уравнения $z_1 = 2, z_2 = 3$.
Отсюда получаем две пары решений: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 2: $u = 6, v = 5$.
Возвращаемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 5. \end{cases} $$
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 6z + 5 = 0$.
Корни этого уравнения $z_1 = 1, z_2 = 5$.
Отсюда получаем еще две пары решений: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 4, \\ x + xy + y = 2. \end{cases} $$

Данная система также является симметрической. Применим ту же замену: $u = x+y$ и $v = xy$.

Преобразуем второе уравнение: $(x+y) + xy = 2$, что дает нам $u + v = 2$.

Теперь преобразуем первое уравнение. Для этого выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(x^2 + y^2) + xy = 4$
$(u^2 - 2v) + v = 4$
$u^2 - v = 4$

Получаем систему уравнений для $u$ и $v$: $$ \begin{cases} u^2 - v = 4, \\ u + v = 2. \end{cases} $$

Сложим два уравнения этой системы, чтобы исключить переменную $v$:
$(u^2 - v) + (u + v) = 4 + 2$
$u^2 + u = 6$
$u^2 + u - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $u$:
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $u_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$ и $u_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$.

Для каждого значения $u$ найдем соответствующее значение $v$ из уравнения $v = 2 - u$.
1) Если $u_1 = -3$, то $v_1 = 2 - (-3) = 5$.
2) Если $u_2 = 2$, то $v_2 = 2 - 2 = 0$.

Рассмотрим оба случая для нахождения $x$ и $y$.

Случай 1: $u=-3, v=5$.
Система для $x$ и $y$ имеет вид: $$ \begin{cases} x + y = -3, \\ xy = 5. \end{cases} $$
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (-3)z + 5 = 0$, то есть $z^2 + 3z + 5 = 0$.
Дискриминант этого уравнения $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $u=2, v=0$.
Система для $x$ и $y$ имеет вид: $$ \begin{cases} x + y = 2, \\ xy = 0. \end{cases} $$
Из второго уравнения следует, что либо $x=0$, либо $y=0$.
Если $x=0$, то из первого уравнения $y=2$.
Если $y=0$, то из первого уравнения $x=2$.
Таким образом, получаем две пары решений: $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Ответ: $(0, 2), (2, 0)$.

1012. а) $\begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x - xy + y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 8(x - y), \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x - xy + y = 1. \end{cases}$

Это симметрическая система. Удобно выполнить сложение и вычитание уравнений.

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x + xy + y) + (x - xy + y) = 11 + 1$

$2x + 2y = 12$

$x + y = 6$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x + xy + y) - (x - xy + y) = 11 - 1$

$2xy = 10$

$xy = 5$

В результате мы получили новую, более простую систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 5. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $y = 6 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x(6 - x) = 5$

$6x - x^2 = 5$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (сумма корней равна 6, произведение равно 5) или через дискриминант находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя выражение $y = 6 - x$:

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$. Получаем решение (1; 5).

2. Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 6 - 5 = 1$. Получаем решение (5; 1).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: (1; 5), (5; 1).

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^3 - y^3 = 8(x - y), \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение. Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 8(x - y)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) - 8(x - y) = 0$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2 - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым случаям.

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$x - y = 0 \implies x = y$.

Подставим это равенство во второе уравнение исходной системы $x^2 + y^2 = 8$:

$x^2 + x^2 = 8$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$.

Так как $x = y$, получаем две пары решений: (2; 2) и (-2; -2).

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$x^2 + xy + y^2 - 8 = 0 \implies x^2 + xy + y^2 = 8$.

Теперь у нас есть новая система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 8, \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + xy + y^2) - (x^2 + y^2) = 8 - 8$

$xy = 0$

Это уравнение выполняется, если $x = 0$ или $y = 0$. Рассмотрим эти два подслучая.

- Если $x = 0$, подставим это значение во второе уравнение исходной системы $x^2 + y^2 = 8$:

$0^2 + y^2 = 8 \implies y^2 = 8 \implies y = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Это дает нам две пары решений: $(0; 2\sqrt{2})$ и $(0; -2\sqrt{2})$.

- Если $y = 0$, подставим это значение во второе уравнение исходной системы $x^2 + y^2 = 8$:

$x^2 + 0^2 = 8 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Это дает нам еще две пары решений: $(2\sqrt{2}; 0)$ и $(-2\sqrt{2}; 0)$.

Объединяя все решения, полученные в обоих случаях, получаем шесть пар чисел.

Ответ: (2; 2), (-2; -2), $(2\sqrt{2}; 0)$, $(-2\sqrt{2}; 0)$, $(0; 2\sqrt{2})$, $(0; -2\sqrt{2})$.

1013. a) $\begin{cases}x+y+xy=7, \\x^2+y^2+xy=13;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x^2+xy+y^2=4, \\x+xy+y=2.\end{cases}$

а)

Данная система уравнений является симметрической, так как она не меняется при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Для решения таких систем удобно использовать замену переменных, основанную на элементарных симметрических многочленах:

Пусть $u = x + y$ и $v = xy$.

Выразим каждое уравнение системы через $u$ и $v$.

Первое уравнение: $x + y + xy = 7$ преобразуется в $u + v = 7$.

Для второго уравнения воспользуемся тождеством $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

Тогда второе уравнение $x^2 + y^2 + xy = 13$ преобразуется в $(u^2 - 2v) + v = 13$, что упрощается до $u^2 - v = 13$.

Теперь мы имеем систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$\begin{cases} u + v = 7 \\ u^2 - v = 13 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 7 - u$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 - (7 - u) = 13$

$u^2 + u - 7 - 13 = 0$

$u^2 + u - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $u$. По теореме Виета, его корни $u_1 = 4$ и $u_2 = -5$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $u = 4$, то $v = 7 - u = 7 - 4 = 3$.

В этом случае, возвращаясь к исходным переменным, получаем систему:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 3 \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 1, t_2 = 3$.

Следовательно, получаем две пары решений: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

2. Если $u = -5$, то $v = 7 - u = 7 - (-5) = 12$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} x + y = -5 \\ xy = 12 \end{cases}$

Соответствующее квадратное уравнение: $t^2 - (-5)t + 12 = 0$, то есть $t^2 + 5t + 12 = 0$.

Дискриминант этого уравнения $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 25 - 48 = -23$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней, а значит, и система в этом случае не имеет действительных решений.

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.

б)

Эта система также является симметрической. Применим ту же замену переменных:

Пусть $u = x + y$ и $v = xy$.

Перепишем уравнения системы в новых переменных.

Второе уравнение: $x + y + xy = 2$ преобразуется в $u + v = 2$.

Первое уравнение: $x^2 + y^2 + xy = 4$. Используя $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$, получаем $(u^2 - 2v) + v = 4$, что упрощается до $u^2 - v = 4$.

Получаем новую систему относительно $u$ и $v$:

$\begin{cases} u + v = 2 \\ u^2 - v = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения выражаем $v = 2 - u$ и подставляем во второе:

$u^2 - (2 - u) = 4$

$u^2 + u - 2 - 4 = 0$

$u^2 + u - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $u_1 = 2$ и $u_2 = -3$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $u = 2$, то $v = 2 - u = 2 - 2 = 0$.

Возвращаясь к переменным $x$ и $y$, получаем систему:

$\begin{cases} x + y = 2 \\ xy = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что либо $x = 0$, либо $y = 0$.

Если $x = 0$, то из первого уравнения $y = 2$. Получаем решение $(0, 2)$.

Если $y = 0$, то из первого уравнения $x = 2$. Получаем решение $(2, 0)$.

2. Если $u = -3$, то $v = 2 - u = 2 - (-3) = 5$.

Получаем систему:

$\begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 5 \end{cases}$

Соответствующее квадратное уравнение: $t^2 - (-3)t + 5 = 0$, то есть $t^2 + 3t + 5 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.

Поскольку $D < 0$, действительных корней нет, и в этом случае система не имеет решений.

Ответ: $(0, 2), (2, 0)$.

1014. a) $\begin{cases} (x-y)(x^2+y^2)=447, \\ xy(x-y)=210; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy(x+y)=20, \\ x+y=\frac{5}{4}xy. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x-y)(x^2+y^2) = 447, \\ xy(x-y) = 210 \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $u = x-y$ и $v = xy$.

Выразим $x^2+y^2$ через $u$ и $v$. Мы знаем, что $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, следовательно $u^2 = (x^2+y^2)-2v$, откуда $x^2+y^2 = u^2+2v$.

Подставим новые переменные в исходную систему:

$$ \begin{cases} u(u^2+2v) = 447, \\ uv = 210 \end{cases} $$

Раскроем скобки в первом уравнении: $u^3+2uv = 447$.

Теперь подставим $uv=210$ из второго уравнения в первое:

$u^3+2(210) = 447$

$u^3+420 = 447$

$u^3 = 447 - 420$

$u^3 = 27$

$u = 3$

Теперь, зная $u$, найдем $v$ из уравнения $uv=210$:

$3v = 210$

$v = \frac{210}{3} = 70$

Мы получили значения для $u$ и $v$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x-y = 3, \\ xy = 70 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y+3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y+3)y = 70$

$y^2+3y-70 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -70, а сумма равна -3. Это числа -10 и 7.

Корни уравнения: $y_1 = 7$, $y_2 = -10$.

1. Если $y_1 = 7$, то $x_1 = y_1+3 = 7+3 = 10$. Получаем пару $(10; 7)$.

2. Если $y_2 = -10$, то $x_2 = y_2+3 = -10+3 = -7$. Получаем пару $(-7; -10)$.

Ответ: $(10; 7), (-7; -10)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy(x+y) = 20, \\ x+y = \frac{5}{4}xy \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $a = x+y$ и $b = xy$.

Перепишем систему в новых переменных:

$$ \begin{cases} ba = 20, \\ a = \frac{5}{4}b \end{cases} $$

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:

$b \cdot (\frac{5}{4}b) = 20$

$\frac{5}{4}b^2 = 20$

$b^2 = 20 \cdot \frac{4}{5}$

$b^2 = 16$

Отсюда получаем два возможных значения для $b$: $b_1 = 4$ и $b_2 = -4$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $b=4$.

Находим соответствующее значение $a$: $a = \frac{5}{4}b = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$. Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 4 \end{cases} $$

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2-5t+4=0$.

Решая уравнение $(t-1)(t-4)=0$, получаем корни $t_1=1$ и $t_2=4$.

Это дает нам две пары решений: $(1; 4)$ и $(4; 1)$.

Случай 2: $b=-4$.

Находим соответствующее значение $a$: $a = \frac{5}{4}b = \frac{5}{4} \cdot (-4) = -5$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$. Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = -5, \\ xy = -4 \end{cases} $$

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2-(-5)t+(-4)=0$, то есть $t^2+5t-4=0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25+16=41$.

Корни уравнения: $t = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$.

Это дает нам еще две пары решений: $(\frac{-5+\sqrt{41}}{2}; \frac{-5-\sqrt{41}}{2})$ и $(\frac{-5-\sqrt{41}}{2}; \frac{-5+\sqrt{41}}{2})$.

Ответ: $(1; 4), (4; 1), (\frac{-5+\sqrt{41}}{2}; \frac{-5-\sqrt{41}}{2}), (\frac{-5-\sqrt{41}}{2}; \frac{-5+\sqrt{41}}{2})$.

1015. a) $\begin{cases} x + y^2 = 3; \\ x^2 + y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + xy = y^2, \\ x - y^2 = 0. \end{cases}$

а)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y^2 = 3 \\ x^2 + y = 3 \end{cases} $$ Правые части уравнений равны, поэтому можно приравнять их левые части: $x + y^2 = x^2 + y$
Перенесем все слагаемые в одну сторону: $x - x^2 + y^2 - y = 0$
Сгруппируем слагаемые и разложим на множители: $(x^2 - y^2) - (x - y) = 0$
$(x - y)(x + y) - (x - y) = 0$
$(x - y)(x + y - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $x - y = 0 \implies x = y$
2) $x + y - 1 = 0 \implies y = 1 - x$

Рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $x = y$.
Подставим $y = x$ в первое уравнение системы $x + y^2 = 3$: $x + x^2 = 3$
$x^2 + x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$
Так как $x = y$, получаем две пары решений: $(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{2})$ и $(\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{13}}{2})$.

Случай 2: $y = 1 - x$.
Подставим $y = 1 - x$ в первое уравнение системы $x + y^2 = 3$: $x + (1 - x)^2 = 3$
$x + 1 - 2x + x^2 = 3$
$x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение можно решить, разложив на множители: $(x - 2)(x + 1) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Находим соответствующие значения $y$:
При $x = 2$, $y = 1 - 2 = -1$. Решение: $(2, -1)$.
При $x = -1$, $y = 1 - (-1) = 2$. Решение: $(-1, 2)$.

Всего система имеет четыре решения.
Ответ: $(2, -1)$, $(-1, 2)$, $(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{2})$, $(\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{13}}{2})$.

б)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy = y^2 \\ x - y^2 = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$: $x = y^2$
Поскольку $y^2$ всегда неотрицательно, то и $x \ge 0$.
Подставим выражение $x = y^2$ в первое уравнение системы: $(y^2)^2 + (y^2)y = y^2$
$y^4 + y^3 = y^2$
Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $y^2$: $y^4 + y^3 - y^2 = 0$
$y^2(y^2 + y - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $y^2 = 0 \implies y = 0$
2) $y^2 + y - 1 = 0$

Рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $y = 0$.
Найдем соответствующее значение $x$ из $x = y^2$: $x = 0^2 = 0$.
Получаем решение $(0, 0)$.

Случай 2: $y^2 + y - 1 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
$y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Получаем два значения для $y$: $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.
Найдем соответствующие значения $x = y^2$:
При $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$:
$x_1 = (\frac{-1 + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
Решение: $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$.
При $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$:
$x_2 = (\frac{-1 - \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
Решение: $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2})$.

Всего система имеет три решения.
Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$, $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2})$.

1016. а) $ \begin{cases} xy = 6, \\ yz = 3, \\ xz = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} yz = \frac{2}{3}x, \\ zx = \frac{3}{2}y, \\ xy = 6z. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy = 6 \\ yz = 3 \\ xz = 2 \end{cases} $$

Предположим, что $x, y, z$ не равны нулю, так как в противном случае произведения были бы равны нулю. Перемножим все три уравнения системы:

$(xy) \cdot (yz) \cdot (xz) = 6 \cdot 3 \cdot 2$

$x^2y^2z^2 = 36$

$(xyz)^2 = 36$

Отсюда следует, что $xyz$ может принимать два значения:

$xyz = 6$ или $xyz = -6$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $xyz = 6$

Чтобы найти каждую переменную, разделим это произведение на одно из исходных уравнений:

$z = \frac{xyz}{xy} = \frac{6}{6} = 1$

$x = \frac{xyz}{yz} = \frac{6}{3} = 2$

$y = \frac{xyz}{xz} = \frac{6}{2} = 3$

Получаем первое решение: $(2; 3; 1)$.

Случай 2: $xyz = -6$

Аналогично первому случаю:

$z = \frac{xyz}{xy} = \frac{-6}{6} = -1$

$x = \frac{xyz}{yz} = \frac{-6}{3} = -2$

$y = \frac{xyz}{xz} = \frac{-6}{2} = -3$

Получаем второе решение: $(-2; -3; -1)$.

Ответ: $(2; 3; 1)$, $(-2; -3; -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} yz = \frac{2}{3}x, \\ zx = \frac{3}{2}y, \\ xy = 6z. \end{cases} $$

Сразу можно заметить, что $x=0, y=0, z=0$ является решением системы. Проверим:

$0 \cdot 0 = \frac{2}{3} \cdot 0 \implies 0=0$

$0 \cdot 0 = \frac{3}{2} \cdot 0 \implies 0=0$

$0 \cdot 0 = 6 \cdot 0 \implies 0=0$

Таким образом, $(0; 0; 0)$ — одно из решений.

Теперь найдем ненулевые решения. Предположим, что $x, y, z \neq 0$.

Из третьего уравнения выразим $z$:

$z = \frac{xy}{6}$

Подставим это выражение в первое и второе уравнения системы.

Подстановка в первое уравнение:

$y \cdot (\frac{xy}{6}) = \frac{2}{3}x$

$\frac{xy^2}{6} = \frac{2}{3}x$

Так как $x \neq 0$, разделим обе части на $x$:

$\frac{y^2}{6} = \frac{2}{3} \implies y^2 = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4 \implies y = \pm 2$.

Подстановка во второе уравнение:

$x \cdot (\frac{xy}{6}) = \frac{3}{2}y$

$\frac{x^2y}{6} = \frac{3}{2}y$

Так как $y \neq 0$, разделим обе части на $y$:

$\frac{x^2}{6} = \frac{3}{2} \implies x^2 = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \implies x = \pm 3$.

Теперь у нас есть четыре возможные комбинации для $x$ и $y$. Для каждой из них найдем соответствующее значение $z$, используя формулу $z = \frac{xy}{6}$.

1. Если $x=3$ и $y=2$, то $z = \frac{3 \cdot 2}{6} = 1$. Решение: $(3; 2; 1)$.

2. Если $x=3$ и $y=-2$, то $z = \frac{3 \cdot (-2)}{6} = -1$. Решение: $(3; -2; -1)$.

3. Если $x=-3$ и $y=2$, то $z = \frac{(-3) \cdot 2}{6} = -1$. Решение: $(-3; 2; -1)$.

4. Если $x=-3$ и $y=-2$, то $z = \frac{(-3) \cdot (-2)}{6} = 1$. Решение: $(-3; -2; 1)$.

Таким образом, система имеет пять наборов решений.

Ответ: $(0; 0; 0)$, $(3; 2; 1)$, $(3; -2; -1)$, $(-3; 2; -1)$, $(-3; -2; 1)$.

1017. a) $\begin{cases} (x - 5)(x + y) = -20 \\ (y - 8)(x + y) = -10 \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 3y - 6)y - 2x = 0 \\ (2x + y - 12)y - 2x = 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x + 10)(y - 12) = 0 \\ \frac{y^2 - 160}{y - 2x} = 0,2x \end{cases}$

г) $\begin{cases} xy + 5(x - y) = 7 \\ x^2 + y^2 + 5(x - y) = 10 \end{cases}$

д) $\begin{cases} x^2 + y^2 + x - y = 44 \\ \frac{y}{2} - \frac{2}{x} = 1 - \frac{y}{x} \end{cases}$

е) $\begin{cases} x + y = xy \\ xy = x^2 + y^2 \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 2x^2 - 4xy + 3y^2 = 36 \\ 3x^2 - 4xy + 2y^2 = 36 \end{cases}$

з) $\begin{cases} 2x^2 - 3xy + 3y^2 = 128 \\ 3x^2 - 3xy + 2y^2 = 128 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x-5)(x+y) = -20 \\ (y-8)(x+y) = -10 \end{cases} $
Заметим, что $x+y \neq 0$, иначе левые части уравнений равнялись бы нулю, что неверно. Разделим первое уравнение на второе:
$ \frac{(x-5)(x+y)}{(y-8)(x+y)} = \frac{-20}{-10} $
$ \frac{x-5}{y-8} = 2 $
Выразим $x$ через $y$, при условии $y \neq 8$:
$ x-5 = 2(y-8) $
$ x-5 = 2y - 16 $
$ x = 2y - 11 $
Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:
$ (y-8)( (2y-11) + y ) = -10 $
$ (y-8)(3y-11) = -10 $
$ 3y^2 - 11y - 24y + 88 = -10 $
$ 3y^2 - 35y + 98 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:
$ D = (-35)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 98 = 1225 - 1176 = 49 = 7^2 $
Корни для $y$:
$ y_1 = \frac{35+7}{2 \cdot 3} = \frac{42}{6} = 7 $
$ y_2 = \frac{35-7}{2 \cdot 3} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} $
Теперь найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 2y - 11$:
При $y_1 = 7$: $x_1 = 2 \cdot 7 - 11 = 14 - 11 = 3$.
При $y_2 = \frac{14}{3}$: $x_2 = 2 \cdot \frac{14}{3} - 11 = \frac{28}{3} - \frac{33}{3} = -\frac{5}{3}$.
Получили две пары решений.
Ответ: $(3; 7)$, $(-\frac{5}{3}; \frac{14}{3})$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x+3y-6)y - 2x = 0 \\ (2x+y-12)y - 2x = 0 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$ ((x+3y-6)y - 2x) - ((2x+y-12)y - 2x) = 0 $
$ (x+3y-6)y - (2x+y-12)y = 0 $
$ y( (x+3y-6) - (2x+y-12) ) = 0 $
$ y( x+3y-6 - 2x-y+12 ) = 0 $
$ y( -x+2y+6 ) = 0 $
Это уравнение распадается на два случая:
1) $y=0$
2) $-x+2y+6 = 0 \implies x = 2y+6$
Рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $y=0$. Подставим в первое уравнение системы:
$ (x+3(0)-6)(0) - 2x = 0 \implies -2x = 0 \implies x=0 $.
Получили решение $(0; 0)$.
Случай 2: $x = 2y+6$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$ ((2y+6)+3y-6)y - 2(2y+6) = 0 $
$ (5y)y - 4y - 12 = 0 $
$ 5y^2 - 4y - 12 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2 $
Корни для $y$:
$ y_1 = \frac{4+16}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2 $
$ y_2 = \frac{4-16}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5} $
Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 2y+6$:
При $y_1=2$: $x_1 = 2(2)+6 = 10$. Решение: $(10; 2)$.
При $y_2=-\frac{6}{5}$: $x_2 = 2(-\frac{6}{5})+6 = -\frac{12}{5} + \frac{30}{5} = \frac{18}{5}$. Решение: $(\frac{18}{5}; -\frac{6}{5})$.
Ответ: $(0; 0)$, $(10; 2)$, $(\frac{18}{5}; -\frac{6}{5})$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x+10)(y-12) = 0 \\ \frac{y^2-160}{y-2x} = 0.2x \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что $x+10=0$ или $y-12=0$.
Случай 1: $x=-10$.
Подставим во второе уравнение. Область допустимых значений: $y-2x \neq 0 \implies y-2(-10) \neq 0 \implies y \neq -20$.
$ \frac{y^2-160}{y+20} = 0.2(-10) $
$ y^2-160 = -2(y+20) $
$ y^2-160 = -2y-40 $
$ y^2+2y-120 = 0 $
По теореме Виета, корни $y_1=10$ и $y_2=-12$. Оба корня удовлетворяют условию $y \neq -20$.
Получаем два решения: $(-10; 10)$ и $(-10; -12)$.
Случай 2: $y=12$.
Подставим во второе уравнение. ОДЗ: $y-2x \neq 0 \implies 12-2x \neq 0 \implies x \neq 6$.
$ \frac{12^2-160}{12-2x} = 0.2x $
$ \frac{144-160}{12-2x} = 0.2x $
$ \frac{-16}{12-2x} = 0.2x $
$ -16 = 0.2x(12-2x) $
$ -16 = 2.4x - 0.4x^2 $
$ 0.4x^2 - 2.4x - 16 = 0 $
Умножим на 10: $4x^2 - 24x - 160 = 0$. Разделим на 4: $x^2 - 6x - 40 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1=10$ и $x_2=-4$. Оба корня удовлетворяют условию $x \neq 6$.
Получаем еще два решения: $(10; 12)$ и $(-4; 12)$.
Ответ: $(-10; 10)$, $(-10; -12)$, $(10; 12)$, $(-4; 12)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} xy + 5(x-y) = 7 \\ x^2+y^2+5(x-y) = 10 \end{cases} $
Выразим $5(x-y)$ из первого уравнения: $5(x-y) = 7 - xy$.
Подставим во второе уравнение:
$ x^2+y^2 + (7-xy) = 10 $
$ x^2-xy+y^2 = 3 $
Теперь преобразуем $x^2-xy+y^2$, используя $x-y$:
$ (x-y)^2+2xy-xy = 3 \implies (x-y)^2 + xy = 3 $
Сделаем замену: пусть $u = x-y$ и $v = xy$. Система примет вид:
$ \begin{cases} v + 5u = 7 \\ u^2 + v = 3 \end{cases} $
Из второго уравнения $v = 3 - u^2$. Подставим в первое:
$ (3-u^2) + 5u = 7 $
$ -u^2 + 5u - 4 = 0 $
$ u^2 - 5u + 4 = 0 $
По теореме Виета, $u_1=1, u_2=4$.
Найдем соответствующие значения $v$:
Если $u_1=1$, то $v_1 = 3 - 1^2 = 2$.
Если $u_2=4$, то $v_2 = 3 - 4^2 = 3 - 16 = -13$.
Теперь вернемся к переменным $x, y$.
Случай 1: $x-y=1$ и $xy=2$.
Из $x-y=1$ имеем $x=y+1$. Подставляем в $xy=2$:
$ (y+1)y=2 \implies y^2+y-2=0 $. Корни: $y_1=1, y_2=-2$.
Если $y_1=1$, то $x_1=1+1=2$. Решение: $(2; 1)$.
Если $y_2=-2$, то $x_2=-2+1=-1$. Решение: $(-1; -2)$.
Случай 2: $x-y=4$ и $xy=-13$.
Из $x-y=4$ имеем $x=y+4$. Подставляем в $xy=-13$:
$ (y+4)y=-13 \implies y^2+4y+13=0 $.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16-52 = -36 < 0$. Действительных корней нет.
Ответ: $(2; 1)$, $(-1; -2)$.

д)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2+y^2+x-y = 44 \\ \frac{y}{2} - \frac{2}{x} = 1 - \frac{y}{x} \end{cases} $
ОДЗ: $x \neq 0$. Упростим второе уравнение, умножив его на $2x$:
$ \frac{y}{2} \cdot 2x - \frac{2}{x} \cdot 2x = 1 \cdot 2x - \frac{y}{x} \cdot 2x $
$ xy - 4 = 2x - 2y $
$ xy + 2y - 2x - 4 = 0 $
$ y(x+2) - 2(x+2) = 0 $
$ (y-2)(x+2) = 0 $
Это уравнение распадается на два случая:
1) $y-2=0 \implies y=2$
2) $x+2=0 \implies x=-2$
Рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $y=2$. Подставим в первое уравнение системы:
$ x^2+2^2+x-2=44 $
$ x^2+x+2=44 $
$ x^2+x-42=0 $
По теореме Виета, корни $x_1=6, x_2=-7$.
Получаем два решения: $(6; 2)$ и $(-7; 2)$.
Случай 2: $x=-2$. Подставим в первое уравнение системы:
$ (-2)^2+y^2+(-2)-y=44 $
$ 4+y^2-2-y=44 $
$ y^2-y-42=0 $
По теореме Виета, корни $y_1=7, y_2=-6$.
Получаем еще два решения: $(-2; 7)$ и $(-2; -6)$.
Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ $x \neq 0$.
Ответ: $(6; 2)$, $(-7; 2)$, $(-2; 7)$, $(-2; -6)$.

е)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x+y = xy \\ xy = x^2+y^2 \end{cases} $
Из системы следует, что $x+y = x^2+y^2$.
Используем стандартную замену для симметричных систем: $u=x+y$, $v=xy$.
Тогда $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.
Система в новых переменных: $ \begin{cases} u = v \\ v = u^2 - 2v \end{cases} $
Так как $u=v$, подставим $u$ вместо $v$ во второе уравнение:
$ u = u^2 - 2u $
$ u^2 - 3u = 0 $
$ u(u-3) = 0 $
Отсюда $u=0$ или $u=3$.
Случай 1: $u=0$. Тогда и $v=0$.
Возвращаемся к переменным $x, y$:
$ x+y=0 $ и $ xy=0 $.
Из $xy=0$ следует, что $x=0$ или $y=0$. Если $x=0$, то из $x+y=0$ получаем $y=0$. Если $y=0$, то $x=0$.
Единственное решение в этом случае: $(0; 0)$.
Случай 2: $u=3$. Тогда и $v=3$.
Возвращаемся к переменным $x, y$:
$ x+y=3 $ и $ xy=3 $.
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, то есть $t^2 - 3t + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0$. Действительных корней нет.
Ответ: $(0; 0)$.

ж)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - 4xy + 3y^2 = 36 \\ 3x^2 - 4xy + 2y^2 = 36 \end{cases} $
Приравняем левые части уравнений, так как их правые части равны:
$ 2x^2 - 4xy + 3y^2 = 3x^2 - 4xy + 2y^2 $
$ y^2 = x^2 $
Отсюда следует, что $y=x$ или $y=-x$.
Случай 1: $y=x$. Подставим в первое уравнение системы:
$ 2x^2 - 4x(x) + 3x^2 = 36 $
$ 2x^2 - 4x^2 + 3x^2 = 36 $
$ x^2 = 36 \implies x = \pm 6 $.
Если $x=6$, то $y=6$. Решение: $(6; 6)$.
Если $x=-6$, то $y=-6$. Решение: $(-6; -6)$.
Случай 2: $y=-x$. Подставим в первое уравнение системы:
$ 2x^2 - 4x(-x) + 3(-x)^2 = 36 $
$ 2x^2 + 4x^2 + 3x^2 = 36 $
$ 9x^2 = 36 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 $.
Если $x=2$, то $y=-2$. Решение: $(2; -2)$.
Если $x=-2$, то $y=2$. Решение: $(-2; 2)$.
Ответ: $(6; 6)$, $(-6; -6)$, $(2; -2)$, $(-2; 2)$.

з)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - 3xy + 3y^2 = 128 \\ 3x^2 - 3xy + 2y^2 = 128 \end{cases} $
Приравняем левые части уравнений:
$ 2x^2 - 3xy + 3y^2 = 3x^2 - 3xy + 2y^2 $
$ y^2 = x^2 $
Отсюда следует, что $y=x$ или $y=-x$.
Случай 1: $y=x$. Подставим в первое уравнение системы:
$ 2x^2 - 3x(x) + 3x^2 = 128 $
$ 2x^2 - 3x^2 + 3x^2 = 128 $
$ 2x^2 = 128 \implies x^2 = 64 \implies x = \pm 8 $.
Если $x=8$, то $y=8$. Решение: $(8; 8)$.
Если $x=-8$, то $y=-8$. Решение: $(-8; -8)$.
Случай 2: $y=-x$. Подставим в первое уравнение системы:
$ 2x^2 - 3x(-x) + 3(-x)^2 = 128 $
$ 2x^2 + 3x^2 + 3x^2 = 128 $
$ 8x^2 = 128 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $.
Если $x=4$, то $y=-4$. Решение: $(4; -4)$.
Если $x=-4$, то $y=4$. Решение: $(-4; 4)$.
Ответ: $(8; 8)$, $(-8; -8)$, $(4; -4)$, $(-4; 4)$.