Страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

946. a) $7\sqrt{x} - 4\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x} - \sqrt[6]{x^2} + \sqrt{x^3}$;

б) $a + 2\sqrt{a} + 3\sqrt[3]{a} + 4\sqrt[3]{a} - 4\sqrt[4]{a^2} - 3\sqrt[6]{a^2} - \sqrt[6]{a^3}$.

а)

Чтобы упростить выражение $7\sqrt{x} - 4\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x} - \sqrt[6]{x^2} + \sqrt{x^3}$, необходимо привести все корни к простейшему виду и затем сгруппировать подобные слагаемые. Предполагается, что $x \ge 0$, чтобы все корни были определены.

1. Упростим члены выражения, где это возможно. Используем свойство корней $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ и $\sqrt{a^2}=|a|$.
$\sqrt[6]{x^2} = x^{2/6} = x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$.
$\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2}\sqrt{x} = x\sqrt{x}$ (поскольку $x \ge 0$).

2. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:
$7\sqrt{x} - 4\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x} - \sqrt[3]{x} + x\sqrt{x}$.

3. Теперь сгруппируем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковой подкоренной частью.
Группа с $\sqrt{x}$: $7\sqrt{x} - 6\sqrt{x}$.
Группа с $\sqrt[3]{x}$: $-4\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x}$.
Оставшийся член: $x\sqrt{x}$.

4. Выполним сложение и вычитание в каждой группе:
$(7-6)\sqrt{x} = 1 \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x}$.
$(-4+5-1)\sqrt[3]{x} = 0 \cdot \sqrt[3]{x} = 0$.

5. Соберем все вместе:
$\sqrt{x} + 0 + x\sqrt{x} = \sqrt{x} + x\sqrt{x}$.

Выражение можно также представить, вынеся общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки: $\sqrt{x}(1+x)$.

Ответ: $\sqrt{x} + x\sqrt{x}$.

б)

Упростим выражение $a + 2\sqrt{a} + 3\sqrt[3]{a} + 4\sqrt[3]{a} - 4\sqrt[4]{a^2} - 3\sqrt[6]{a^2} - \sqrt[6]{a^3}$. Предполагается, что $a \ge 0$.

1. Упростим корни, используя свойство $ \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} $ и сокращая дроби в показателе степени:
$\sqrt[4]{a^2} = a^{2/4} = a^{1/2} = \sqrt{a}$.
$\sqrt[6]{a^2} = a^{2/6} = a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$.
$\sqrt[6]{a^3} = a^{3/6} = a^{1/2} = \sqrt{a}$.

2. Подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$a + 2\sqrt{a} + 3\sqrt[3]{a} + 4\sqrt[3]{a} - 4\sqrt{a} - 3\sqrt[3]{a} - \sqrt{a}$.

3. Сгруппируем подобные слагаемые:
$a + (2\sqrt{a} - 4\sqrt{a} - \sqrt{a}) + (3\sqrt[3]{a} + 4\sqrt[3]{a} - 3\sqrt[3]{a})$.

4. Выполним действия в каждой группе, складывая коэффициенты при одинаковых корнях:
$a + (2 - 4 - 1)\sqrt{a} + (3 + 4 - 3)\sqrt[3]{a}$.
$a - 3\sqrt{a} + 4\sqrt[3]{a}$.

Ответ: $a - 3\sqrt{a} + 4\sqrt[3]{a}$.

947. Сократите дробь:

а) $ \frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{\sqrt{35}-\sqrt{14}} $;

б) $ \frac{\sqrt{10}+\sqrt{15}}{\sqrt{8}+\sqrt{12}} $;

в) $ \frac{\sqrt[3]{x^2y}-\sqrt[3]{xy^2}}{\sqrt[3]{ax}-\sqrt[3]{ay}} $;

г) $ \frac{n\sqrt[3]{m}-m\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{n^2}+2\sqrt[3]{mn}} $.

а) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{\sqrt{35} - \sqrt{14}}$ необходимо разложить подкоренные выражения на множители, чтобы найти общие множители в числителе и знаменателе.
Преобразуем числитель: $\sqrt{15} - \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3}\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{2}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки: $\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
Преобразуем знаменатель: $\sqrt{35} - \sqrt{14} = \sqrt{7 \cdot 5} - \sqrt{7 \cdot 2} = \sqrt{7}\sqrt{5} - \sqrt{7}\sqrt{2}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки: $\sqrt{7}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{7}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{5} - \sqrt{2})$ и получаем результат.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{15}}{\sqrt{8} + \sqrt{12}}$. Разложим подкоренные выражения на множители и упростим.
Преобразуем числитель: $\sqrt{10} + \sqrt{15} = \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$.
Преобразуем знаменатель: $\sqrt{8} + \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$. Вынесем общий множитель $2$ за скобки: $2(\sqrt{2} + \sqrt{3})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь: $\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{2} + \sqrt{3})$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

в) Сократим дробь $\frac{\sqrt[3]{x^2y} - \sqrt[3]{xy^2}}{\sqrt[3]{ax} - \sqrt[3]{ay}}$. Для этого вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
Числитель: $\sqrt[3]{x^2y} - \sqrt[3]{xy^2} = \sqrt[3]{xy \cdot x} - \sqrt[3]{xy \cdot y} = \sqrt[3]{xy}\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{xy}\sqrt[3]{y}$. Вынесем за скобки $\sqrt[3]{xy}$: $\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})$.
Знаменатель: $\sqrt[3]{ax} - \sqrt[3]{ay} = \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{y}$. Вынесем за скобки $\sqrt[3]{a}$: $\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})$.
Дробь принимает вид: $\frac{\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})}$.
Сократив на $(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})$, получаем $\frac{\sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{a}}$, что можно записать как $\sqrt[3]{\frac{xy}{a}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{\frac{xy}{a}}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{n\sqrt[3]{m} - m\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{n^2} + 2\sqrt[3]{mn}}$.
Преобразуем знаменатель. Заметим, что он представляет собой квадрат суммы. Переставим слагаемые для наглядности: $\sqrt[3]{m^2} + 2\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2} = (\sqrt[3]{m})^2 + 2\sqrt[3]{m}\sqrt[3]{n} + (\sqrt[3]{n})^2 = (\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n})^2$.
Преобразуем числитель. Представим $m$ и $n$ в виде кубов их кубических корней: $m = (\sqrt[3]{m})^3$, $n = (\sqrt[3]{n})^3$.
Числитель: $n\sqrt[3]{m} - m\sqrt[3]{n} = (\sqrt[3]{n})^3\sqrt[3]{m} - (\sqrt[3]{m})^3\sqrt[3]{n}$. Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{m}\sqrt[3]{n} = \sqrt[3]{mn}$ за скобки: $\sqrt[3]{mn}((\sqrt[3]{n})^2 - (\sqrt[3]{m})^2)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt[3]{n}$ и $b = \sqrt[3]{m}$. Таким образом, числитель равен $\sqrt[3]{mn}(\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{m})(\sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{m})$.
Теперь запишем всю дробь: $\frac{\sqrt[3]{mn}(\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{m})(\sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{m})}{(\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n})^2}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{m})$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{mn}(\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{m})}{\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}}$.

Упростите выражение (948—952):

948. а) $\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{4b}{a}};$

б) $\frac{1}{3}\sqrt[4]{\frac{xy^2}{2}} \cdot \sqrt[4]{\frac{81}{4}} : (x^3y).$

a)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{4b}{a}}$, воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}$.

Объединим подкоренные выражения: $$ \sqrt[3]{\frac{a^2}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{4b}{a}} = \sqrt[3]{\frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{4b}{a}} $$

Теперь упростим выражение внутри кубического корня, сокращая дроби: $$ \sqrt[3]{\frac{4a^2b}{ab^2}} = \sqrt[3]{\frac{4a^{2-1}}{b^{2-1}}} = \sqrt[3]{\frac{4a}{b}} $$

Дальнейшее упрощение невозможно, так как в подкоренном выражении нет множителей, являющихся точным кубом.

Ответ: $\sqrt[3]{\frac{4a}{b}}$

б)

Рассмотрим выражение $\frac{1}{3}\sqrt[4]{\frac{xy^2}{2}} \cdot \sqrt[4]{\frac{81}{4}} : (x^3y)$.

Сначала перемножим корни, используя свойство $\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B} = \sqrt[n]{A \cdot B}$: $$ \frac{1}{3}\sqrt[4]{\frac{xy^2}{2} \cdot \frac{81}{4}} : (x^3y) = \frac{1}{3}\sqrt[4]{\frac{81xy^2}{8}} : (x^3y) $$

Упростим числовой коэффициент. Поскольку $\sqrt[4]{81} = 3$, мы можем вынести его из-под корня: $$ \frac{1}{3}\frac{\sqrt[4]{81}\sqrt[4]{xy^2}}{\sqrt[4]{8}} : (x^3y) = \frac{1}{3}\frac{3\sqrt[4]{xy^2}}{\sqrt[4]{8}} : (x^3y) = \frac{\sqrt[4]{xy^2}}{\sqrt[4]{8}} : (x^3y) $$

Теперь выполним деление. Деление на $(x^3y)$ эквивалентно умножению на $\frac{1}{x^3y}$: $$ \frac{\sqrt[4]{xy^2}}{\sqrt[4]{8}} \cdot \frac{1}{x^3y} = \frac{\sqrt[4]{xy^2}}{x^3y\sqrt[4]{8}} $$

Чтобы объединить все под один корень, представим множитель $x^3y$ в виде корня четвертой степени: $x^3y = \sqrt[4]{(x^3y)^4} = \sqrt[4]{x^{12}y^4}$. $$ \frac{\sqrt[4]{xy^2}}{\sqrt[4]{8x^{12}y^4}} = \sqrt[4]{\frac{xy^2}{8x^{12}y^4}} $$

Сократим дробь под корнем, используя свойства степеней: $$ \sqrt[4]{\frac{1}{8x^{12-1}y^{4-2}}} = \sqrt[4]{\frac{1}{8x^{11}y^2}} $$

Наконец, вынесем из знаменателя под корнем множители, являющиеся точной четвертой степенью, чтобы упростить выражение. Заметим, что $x^{11} = x^8 \cdot x^3 = (x^2)^4 \cdot x^3$: $$ \sqrt[4]{\frac{1}{8x^{11}y^2}} = \frac{1}{\sqrt[4]{8x^{11}y^2}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^8 \cdot 8x^3y^2}} = \frac{1}{x^2\sqrt[4]{8x^3y^2}} $$

Ответ: $\frac{1}{x^2\sqrt[4]{8x^3y^2}}$

949. a) $ (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \cdot \sqrt[3]{a^2}; $

B) $ (a\sqrt[3]{b} + b\sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{a^2b^2}; $

б) $ (\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{a}; $

г) $ (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}). $

а) Чтобы упростить выражение $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \cdot \sqrt[3]{a^2}$, раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\sqrt[3]{a^2}$.
$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \cdot \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{a^2}$.
Используем свойство умножения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$:
$\sqrt[3]{a \cdot a^2} + \sqrt[3]{b \cdot a^2} = \sqrt[3]{a^3} + \sqrt[3]{a^2b}$.
Так как $\sqrt[3]{a^3} = a$, получаем:
$a + \sqrt[3]{a^2b}$.
Ответ: $a + \sqrt[3]{a^2b}$.

б) Упростим выражение $(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{a}$. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член на $\sqrt[3]{a}$.
$(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}$.
Применяем свойство умножения корней $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$:
$\sqrt[3]{a^2 \cdot a} - \sqrt[3]{a \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} - \sqrt[3]{a^2}$.
Упрощаем первый член, так как $\sqrt[3]{a^3} = a$:
$a - \sqrt[3]{a^2}$.
Ответ: $a - \sqrt[3]{a^2}$.

в) Рассмотрим выражение $(a\sqrt[3]{b} + b\sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{a^2b^2}$. Раскроем скобки.
$(a\sqrt[3]{b} + b\sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{a^2b^2} = a\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{a^2b^2} + b\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2b^2}$.
Используем свойство умножения корней $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$:
$a\sqrt[3]{b \cdot a^2b^2} + b\sqrt[3]{a \cdot a^2b^2} = a\sqrt[3]{a^2b^3} + b\sqrt[3]{a^3b^2}$.
Теперь вынесем из-под знака корня множители, которые являются полными кубами. Используем свойство $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$:
$a\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b^3} + b\sqrt[3]{a^3}\sqrt[3]{b^2} = a\sqrt[3]{a^2} \cdot b + b \cdot a \cdot \sqrt[3]{b^2}$.
Перегруппируем множители:
$ab\sqrt[3]{a^2} + ab\sqrt[3]{b^2}$.
Вынесем общий множитель $ab$ за скобки:
$ab(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2})$.
Ответ: $ab(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2})$.

г) Выражение $(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})$ представляет собой формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.
В данном случае $x = \sqrt[3]{a}$ и $y = \sqrt[3]{b}$.
Применяя формулу, получаем:
$(\sqrt[3]{a})^2 - (\sqrt[3]{b})^2$.
Используя свойство степени корня $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$, преобразуем выражение:
$\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}$.

950. a) $\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a}-\sqrt{a-b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-b}}{\sqrt{a}+\sqrt{a-b}}\right) : \sqrt{\frac{a-b}{a}};$

б) $\frac{a^2b^{-1}-a^{-2}b^3}{a^3b^{-1}+ab} : \frac{a^{-1}b-ab^{-1}}{a^3b^{-1}}.$

а) Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})$.
По формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ получаем:
$(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{a-b})^2 = a - (a-b) = a - a + b = b$.

Теперь приведем выражение в скобках к общему знаменателю $b$:
$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})}{b} - \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})}{b} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{a-b})^2}{b}$.

Упростим числитель, используя формулу $(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{a-b}$:
$(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{a-b})^2 = 4\sqrt{a}\sqrt{a-b} = 4\sqrt{a(a-b)} = 4\sqrt{a^2-ab}$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{4\sqrt{a^2-ab}}{b}$.

Теперь выполним деление:
$\frac{4\sqrt{a^2-ab}}{b} : \sqrt{\frac{a-b}{a}}$

Деление на корень эквивалентно умножению на перевернутый корень:
$\frac{4\sqrt{a^2-ab}}{b} \cdot \sqrt{\frac{a}{a-b}} = \frac{4}{b} \sqrt{(a^2-ab) \cdot \frac{a}{a-b}}$

Вынесем $a$ за скобки под корнем и сократим:
$\frac{4}{b} \sqrt{a(a-b) \cdot \frac{a}{a-b}} = \frac{4}{b} \sqrt{a \cdot a} = \frac{4}{b} \sqrt{a^2} = \frac{4|a|}{b}$.

Поскольку в исходном выражении есть $\sqrt{a}$, это означает, что $a \ge 0$. Если $a=0$, то выражение не имеет смысла. Значит, $a>0$, и $|a|=a$.
Окончательный результат: $\frac{4a}{b}$.

Ответ: $\frac{4a}{b}$

б) Упростим поочередно каждую из дробей, а затем выполним деление. Сначала преобразуем отрицательные степени в дроби.

Первая дробь (делимое):
$\frac{a^2 b^{-1} - a^{-2} b^3}{a^3 b^{-1} + ab} = \frac{\frac{a^2}{b} - \frac{b^3}{a^2}}{\frac{a^3}{b} + ab}$
Упростим ее числитель и знаменатель:
Числитель: $\frac{a^2}{b} - \frac{b^3}{a^2} = \frac{a^4 - b^4}{a^2 b} = \frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{a^2 b}$.
Знаменатель: $\frac{a^3}{b} + ab = \frac{a^3 + ab^2}{b} = \frac{a(a^2+b^2)}{b}$.
Делимое равно: $\frac{\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{a^2 b}}{\frac{a(a^2+b^2)}{b}} = \frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{a^2 b} \cdot \frac{b}{a(a^2+b^2)} = \frac{a^2-b^2}{a^3}$.

Вторая дробь (делитель):
$\frac{a^{-1} b - ab^{-1}}{a^3 b^{-1}} = \frac{\frac{b}{a} - \frac{a}{b}}{\frac{a^3}{b}}$
Упростим ее числитель и знаменатель:
Числитель: $\frac{b}{a} - \frac{a}{b} = \frac{b^2-a^2}{ab}$.
Делитель равен: $\frac{\frac{b^2-a^2}{ab}}{\frac{a^3}{b}} = \frac{b^2-a^2}{ab} \cdot \frac{b}{a^3} = \frac{b^2-a^2}{a^4}$.

Теперь выполним деление полученных выражений:
$\frac{a^2-b^2}{a^3} : \frac{b^2-a^2}{a^4} = \frac{a^2-b^2}{a^3} \cdot \frac{a^4}{b^2-a^2}$

Заметим, что $b^2-a^2 = -(a^2-b^2)$, поэтому:
$\frac{a^2-b^2}{a^3} \cdot \frac{a^4}{-(a^2-b^2)} = -\frac{a^4}{a^3} = -a$.

Ответ: $-a$

951. a) $(\sqrt[3]{108a^4b^{-1}} - \sqrt[3]{32a^{-2}b^5}) : \sqrt[3]{4ab^2};$

б) $(x^2y^3\sqrt[5]{\frac{243y^{-4}}{x^{-5}}} + \frac{y}{x^{-1}}\sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-6}}}) : \sqrt[5]{y^{-4}}.$

а) Для решения данного примера воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ и распределительным свойством деления $(x-y):z = x:z - y:z$.
$(\sqrt[3]{108a^4b^{-1}} - \sqrt[3]{32a^{-2}b^5}) : \sqrt[3]{4ab^2} = \frac{\sqrt[3]{108a^4b^{-1}}}{\sqrt[3]{4ab^2}} - \frac{\sqrt[3]{32a^{-2}b^5}}{\sqrt[3]{4ab^2}}$
Теперь упростим каждое из получившихся частных:
1) $\frac{\sqrt[3]{108a^4b^{-1}}}{\sqrt[3]{4ab^2}} = \sqrt[3]{\frac{108a^4b^{-1}}{4ab^2}} = \sqrt[3]{27a^{4-1}b^{-1-2}} = \sqrt[3]{27a^3b^{-3}} = \sqrt[3]{(3ab^{-1})^3} = 3ab^{-1} = \frac{3a}{b}$
2) $\frac{\sqrt[3]{32a^{-2}b^5}}{\sqrt[3]{4ab^2}} = \sqrt[3]{\frac{32a^{-2}b^5}{4ab^2}} = \sqrt[3]{8a^{-2-1}b^{5-2}} = \sqrt[3]{8a^{-3}b^3} = \sqrt[3]{(2a^{-1}b)^3} = 2a^{-1}b = \frac{2b}{a}$
Выполним вычитание полученных выражений, приведя их к общему знаменателю:
$\frac{3a}{b} - \frac{2b}{a} = \frac{3a \cdot a}{ab} - \frac{2b \cdot b}{ab} = \frac{3a^2 - 2b^2}{ab}$
Ответ: $\frac{3a^2 - 2b^2}{ab}$

б) Для решения данного примера также воспользуемся распределительным свойством деления $(x+y):z = x:z + y:z$.
$(x^2y^3 \sqrt[5]{\frac{243y^{-4}}{x^{-5}}} + \frac{y}{x^{-1}} \sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-6}}}) : \sqrt[5]{y^{-4}} = (x^2y^3 \sqrt[5]{\frac{243y^{-4}}{x^{-5}}}) : \sqrt[5]{y^{-4}} + (\frac{y}{x^{-1}} \sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-6}}}) : \sqrt[5]{y^{-4}}$
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:
1) Первое слагаемое:
$x^2y^3 \frac{\sqrt[5]{\frac{243y^{-4}}{x^{-5}}}}{\sqrt[5]{y^{-4}}} = x^2y^3 \sqrt[5]{\frac{243y^{-4}}{x^{-5}y^{-4}}} = x^2y^3 \sqrt[5]{\frac{243}{x^{-5}}} = x^2y^3 \sqrt[5]{243x^5}$
Так как $243 = 3^5$, то:
$x^2y^3 \sqrt[5]{3^5x^5} = x^2y^3 \cdot (3x) = 3x^3y^3$
2) Второе слагаемое:
$(\frac{y}{x^{-1}} \sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-6}}}) : \sqrt[5]{y^{-4}} = yx \frac{\sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-6}}}}{\sqrt[5]{y^{-4}}} = yx \sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-6}y^{-4}}} = yx \sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-10}}} = yx \sqrt[5]{32x^{10}y^{10}}$
Так как $32 = 2^5$, то:
$yx \sqrt[5]{2^5x^{10}y^{10}} = yx \sqrt[5]{(2x^2y^2)^5} = yx \cdot (2x^2y^2) = 2x^3y^3$
Сложим полученные результаты:
$3x^3y^3 + 2x^3y^3 = 5x^3y^3$
Ответ: $5x^3y^3$

952. a) $\left(4 \sqrt[3]{\frac{81x^9}{y^{-2}}} - \frac{2}{x^{-1}} \sqrt[3]{\frac{3y^2}{8^{-2}x^{-6}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{y}{3^{-2}}}$;

б) $\left(\sqrt[4]{\frac{128x^3}{y^{-6}}} + x^{-1}y \sqrt[4]{\frac{8y^2}{x^{-7}}}\right) \cdot \sqrt[4]{\frac{x^2}{4^{-1}y^{-3}}}$.

а)

Упростим выражение по шагам, начиная с членов в скобках.

1. Преобразуем первый член в скобках:
$4 \sqrt[3]{\frac{81x^9}{y^{-2}}} = 4 \sqrt[3]{81x^9y^2} = 4 \sqrt[3]{27 \cdot 3 \cdot x^9 \cdot y^2} = 4 \sqrt[3]{(3x^3)^3 \cdot 3y^2} = 4 \cdot 3x^3 \sqrt[3]{3y^2} = 12x^3 \sqrt[3]{3y^2}$.

2. Преобразуем второй член в скобках:
$\frac{2}{x^{-1}} \sqrt[3]{\frac{3y^2}{8^{-2}x^{-6}}} = 2x \sqrt[3]{3y^2 \cdot 8^2 \cdot x^6} = 2x \sqrt[3]{3y^2 \cdot 64 \cdot x^6} = 2x \sqrt[3]{(4x^2)^3 \cdot 3y^2} = 2x \cdot 4x^2 \sqrt[3]{3y^2} = 8x^3 \sqrt[3]{3y^2}$.

3. Выполним вычитание в скобках:
$12x^3 \sqrt[3]{3y^2} - 8x^3 \sqrt[3]{3y^2} = (12-8)x^3 \sqrt[3]{3y^2} = 4x^3 \sqrt[3]{3y^2}$.

4. Упростим множитель за скобками:
$\sqrt[3]{\frac{y}{3^{-2}}} = \sqrt[3]{y \cdot 3^2} = \sqrt[3]{9y}$.

5. Перемножим полученные выражения:
$(4x^3 \sqrt[3]{3y^2}) \cdot \sqrt[3]{9y} = 4x^3 \sqrt[3]{3y^2 \cdot 9y} = 4x^3 \sqrt[3]{27y^3} = 4x^3 \cdot 3y = 12x^3y$.

Ответ: $12x^3y$.

б)

Упростим выражение по шагам, начиная с членов в скобках.

1. Преобразуем первый член в скобках:
$\sqrt[4]{\frac{128x^3}{y^{-6}}} = \sqrt[4]{128x^3y^6} = \sqrt[4]{2^7x^3y^6} = \sqrt[4]{16 \cdot 8 \cdot x^3 \cdot y^4 \cdot y^2} = \sqrt[4]{(2y)^4 \cdot 8x^3y^2} = 2y\sqrt[4]{8x^3y^2}$.

2. Преобразуем второй член в скобках:
$x^{-1}y \sqrt[4]{\frac{8y^2}{x^{-7}}} = \frac{y}{x} \sqrt[4]{8y^2x^7} = \frac{y}{x} \sqrt[4]{8y^2x^4x^3} = \frac{y}{x} \sqrt[4]{x^4 \cdot 8x^3y^2} = \frac{y}{x} \cdot x \sqrt[4]{8x^3y^2} = y\sqrt[4]{8x^3y^2}$.

3. Выполним сложение в скобках:
$2y\sqrt[4]{8x^3y^2} + y\sqrt[4]{8x^3y^2} = (2y+y)\sqrt[4]{8x^3y^2} = 3y\sqrt[4]{8x^3y^2}$.

4. Упростим множитель за скобками:
$\sqrt[4]{\frac{x^2}{4^{-1}y^{-3}}} = \sqrt[4]{x^2 \cdot 4 \cdot y^3} = \sqrt[4]{4x^2y^3}$.

5. Перемножим полученные выражения:
$(3y\sqrt[4]{8x^3y^2}) \cdot \sqrt[4]{4x^2y^3} = 3y\sqrt[4]{(8x^3y^2)(4x^2y^3)} = 3y\sqrt[4]{32x^5y^5} = 3y\sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot x^4 \cdot x \cdot y^4 \cdot y} = 3y\sqrt[4]{(2xy)^4 \cdot 2xy} = 3y \cdot 2xy \sqrt[4]{2xy} = 6xy^2\sqrt[4]{2xy}$.

Ответ: $6xy^2\sqrt[4]{2xy}$.

953. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

а) $\frac{\sqrt{a} + 6}{a - 36} - \frac{1}{\sqrt{a} + 6} = \frac{12}{a - 36}$;

б) $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 6} - \frac{3}{\sqrt{x} + 6} + \frac{x}{36 - x} = \frac{3}{\sqrt{x} - 6}$.

Для доказательства равенств преобразуем их левые части и покажем, что они равны правым частям.

а) $ \frac{\sqrt{a} + 6}{a - 36} - \frac{1}{\sqrt{a} + 6} = \frac{12}{a - 36} $

Преобразуем левую часть равенства. Область допустимых значений: $ a \ge 0, a \neq 36 $.

Знаменатель первой дроби $ a - 36 $ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $ a - 36 = (\sqrt{a})^2 - 6^2 = (\sqrt{a} - 6)(\sqrt{a} + 6) $.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $ a - 36 $:

$ \frac{\sqrt{a} + 6}{a - 36} - \frac{1}{\sqrt{a} + 6} = \frac{\sqrt{a} + 6}{(\sqrt{a} - 6)(\sqrt{a} + 6)} - \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - 6)}{(\sqrt{a} + 6)(\sqrt{a} - 6)} $

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{(\sqrt{a} + 6) - (\sqrt{a} - 6)}{a - 36} = \frac{\sqrt{a} + 6 - \sqrt{a} + 6}{a - 36} = \frac{12}{a - 36} $

В результате преобразования левой части мы получили выражение, стоящее в правой части. Левая часть равна правой, равенство доказано.

Ответ: Равенство справедливо.

б) $ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 6} - \frac{3}{\sqrt{x} + 6} + \frac{x}{36 - x} = \frac{3}{\sqrt{x} - 6} $

Преобразуем левую часть равенства. Область допустимых значений: $ x \ge 0, x \neq 36 $.

Заметим, что знаменатель третьей дроби $ 36 - x = -(x - 36) $. Используем это для упрощения выражения:

$ \frac{x}{36 - x} = \frac{x}{-(x - 36)} = -\frac{x}{x - 36} $

Теперь выражение в левой части выглядит так:

$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 6} - \frac{3}{\sqrt{x} + 6} - \frac{x}{x - 36} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ x - 36 = (\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6) $:

$ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)} - \frac{3(\sqrt{x} - 6)}{(\sqrt{x} + 6)(\sqrt{x} - 6)} - \frac{x}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 6) - 3(\sqrt{x} - 6) - x}{x - 36} = \frac{x + 6\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 18 - x}{x - 36} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(x - x) + (6\sqrt{x} - 3\sqrt{x}) + 18}{x - 36} = \frac{3\sqrt{x} + 18}{x - 36} $

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$ \frac{3(\sqrt{x} + 6)}{x - 36} = \frac{3(\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt{x} + 6) $, который не равен нулю в области допустимых значений:

$ \frac{3}{\sqrt{x} - 6} $

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Равенство доказано.

Ответ: Равенство справедливо.

954. Внесите множитель под знак корня:

а) $(a - 1)\sqrt{\frac{3a}{1 - a^2}}$, $0 < a < 1$;

б) $(2 - a)\sqrt{\frac{2a}{a - 2}}$, $a > 2$.

а) Дано выражение $(a-1)\sqrt{\frac{3a}{1-a^2}}$ при условии $0 < a < 1$.

Чтобы внести множитель $(a-1)$ под знак корня, сначала определим его знак. Так как по условию $0 < a < 1$, то выражение $(a-1)$ является отрицательным.

При внесении отрицательного множителя $M$ под знак квадратного корня, мы оставляем знак "минус" перед корнем, а под корень вносим квадрат этого множителя. То есть, если $M < 0$, то $M\sqrt{B} = -\sqrt{M^2 B}$.

В данном случае $M = a-1$. Выполним преобразование:

$(a-1)\sqrt{\frac{3a}{1-a^2}} = -\sqrt{(a-1)^2 \cdot \frac{3a}{1-a^2}}$

Теперь упростим подкоренное выражение. Используем тождество $(a-1)^2 = (1-a)^2$ и формулу разности квадратов для знаменателя: $1-a^2 = (1-a)(1+a)$.

$-\sqrt{(1-a)^2 \cdot \frac{3a}{(1-a)(1+a)}}$

Сократим дробь на множитель $(1-a)$, так как при $0 < a < 1$ он не равен нулю:

$-\sqrt{\frac{(1-a) \cdot 3a}{1+a}} = -\sqrt{\frac{3a(1-a)}{1+a}}$

Ответ: $-\sqrt{\frac{3a(1-a)}{1+a}}$

б) Дано выражение $(2-a)\sqrt{\frac{2a}{a-2}}$ при условии $a > 2$.

Определим знак множителя $(2-a)$. Так как по условию $a > 2$, то выражение $(2-a)$ является отрицательным.

Поскольку множитель отрицательный, при внесении его под знак корня мы оставляем "минус" перед корнем, а под корень вносим множитель, возведенный в квадрат.

$(2-a)\sqrt{\frac{2a}{a-2}} = -\sqrt{(2-a)^2 \cdot \frac{2a}{a-2}}$

Упростим подкоренное выражение. Заметим, что $(2-a)^2 = (-(a-2))^2 = (a-2)^2$.

$-\sqrt{(a-2)^2 \cdot \frac{2a}{a-2}}$

Сократим дробь на множитель $(a-2)$, так как при $a > 2$ он не равен нулю:

$-\sqrt{(a-2) \cdot 2a} = -\sqrt{2a(a-2)}$

Ответ: $-\sqrt{2a(a-2)}$