Номер 949, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

949. a) $ (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \cdot \sqrt[3]{a^2}; $

B) $ (a\sqrt[3]{b} + b\sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{a^2b^2}; $

б) $ (\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{a}; $

г) $ (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}). $

а) Чтобы упростить выражение $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \cdot \sqrt[3]{a^2}$, раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\sqrt[3]{a^2}$.
$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \cdot \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{a^2}$.
Используем свойство умножения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$:
$\sqrt[3]{a \cdot a^2} + \sqrt[3]{b \cdot a^2} = \sqrt[3]{a^3} + \sqrt[3]{a^2b}$.
Так как $\sqrt[3]{a^3} = a$, получаем:
$a + \sqrt[3]{a^2b}$.
Ответ: $a + \sqrt[3]{a^2b}$.

б) Упростим выражение $(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{a}$. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член на $\sqrt[3]{a}$.
$(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}$.
Применяем свойство умножения корней $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$:
$\sqrt[3]{a^2 \cdot a} - \sqrt[3]{a \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} - \sqrt[3]{a^2}$.
Упрощаем первый член, так как $\sqrt[3]{a^3} = a$:
$a - \sqrt[3]{a^2}$.
Ответ: $a - \sqrt[3]{a^2}$.

в) Рассмотрим выражение $(a\sqrt[3]{b} + b\sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{a^2b^2}$. Раскроем скобки.
$(a\sqrt[3]{b} + b\sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{a^2b^2} = a\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{a^2b^2} + b\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2b^2}$.
Используем свойство умножения корней $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$:
$a\sqrt[3]{b \cdot a^2b^2} + b\sqrt[3]{a \cdot a^2b^2} = a\sqrt[3]{a^2b^3} + b\sqrt[3]{a^3b^2}$.
Теперь вынесем из-под знака корня множители, которые являются полными кубами. Используем свойство $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$:
$a\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b^3} + b\sqrt[3]{a^3}\sqrt[3]{b^2} = a\sqrt[3]{a^2} \cdot b + b \cdot a \cdot \sqrt[3]{b^2}$.
Перегруппируем множители:
$ab\sqrt[3]{a^2} + ab\sqrt[3]{b^2}$.
Вынесем общий множитель $ab$ за скобки:
$ab(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2})$.
Ответ: $ab(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2})$.

г) Выражение $(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})$ представляет собой формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.
В данном случае $x = \sqrt[3]{a}$ и $y = \sqrt[3]{b}$.
Применяя формулу, получаем:
$(\sqrt[3]{a})^2 - (\sqrt[3]{b})^2$.
Используя свойство степени корня $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$, преобразуем выражение:
$\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}$.