Номер 950, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

950. a) $\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a}-\sqrt{a-b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-b}}{\sqrt{a}+\sqrt{a-b}}\right) : \sqrt{\frac{a-b}{a}};$

б) $\frac{a^2b^{-1}-a^{-2}b^3}{a^3b^{-1}+ab} : \frac{a^{-1}b-ab^{-1}}{a^3b^{-1}}.$

а) Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})$.
По формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ получаем:
$(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{a-b})^2 = a - (a-b) = a - a + b = b$.

Теперь приведем выражение в скобках к общему знаменателю $b$:
$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})}{b} - \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})}{b} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{a-b})^2}{b}$.

Упростим числитель, используя формулу $(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{a-b}$:
$(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{a-b})^2 = 4\sqrt{a}\sqrt{a-b} = 4\sqrt{a(a-b)} = 4\sqrt{a^2-ab}$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{4\sqrt{a^2-ab}}{b}$.

Теперь выполним деление:
$\frac{4\sqrt{a^2-ab}}{b} : \sqrt{\frac{a-b}{a}}$

Деление на корень эквивалентно умножению на перевернутый корень:
$\frac{4\sqrt{a^2-ab}}{b} \cdot \sqrt{\frac{a}{a-b}} = \frac{4}{b} \sqrt{(a^2-ab) \cdot \frac{a}{a-b}}$

Вынесем $a$ за скобки под корнем и сократим:
$\frac{4}{b} \sqrt{a(a-b) \cdot \frac{a}{a-b}} = \frac{4}{b} \sqrt{a \cdot a} = \frac{4}{b} \sqrt{a^2} = \frac{4|a|}{b}$.

Поскольку в исходном выражении есть $\sqrt{a}$, это означает, что $a \ge 0$. Если $a=0$, то выражение не имеет смысла. Значит, $a>0$, и $|a|=a$.
Окончательный результат: $\frac{4a}{b}$.

Ответ: $\frac{4a}{b}$

б) Упростим поочередно каждую из дробей, а затем выполним деление. Сначала преобразуем отрицательные степени в дроби.

Первая дробь (делимое):
$\frac{a^2 b^{-1} - a^{-2} b^3}{a^3 b^{-1} + ab} = \frac{\frac{a^2}{b} - \frac{b^3}{a^2}}{\frac{a^3}{b} + ab}$
Упростим ее числитель и знаменатель:
Числитель: $\frac{a^2}{b} - \frac{b^3}{a^2} = \frac{a^4 - b^4}{a^2 b} = \frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{a^2 b}$.
Знаменатель: $\frac{a^3}{b} + ab = \frac{a^3 + ab^2}{b} = \frac{a(a^2+b^2)}{b}$.
Делимое равно: $\frac{\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{a^2 b}}{\frac{a(a^2+b^2)}{b}} = \frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{a^2 b} \cdot \frac{b}{a(a^2+b^2)} = \frac{a^2-b^2}{a^3}$.

Вторая дробь (делитель):
$\frac{a^{-1} b - ab^{-1}}{a^3 b^{-1}} = \frac{\frac{b}{a} - \frac{a}{b}}{\frac{a^3}{b}}$
Упростим ее числитель и знаменатель:
Числитель: $\frac{b}{a} - \frac{a}{b} = \frac{b^2-a^2}{ab}$.
Делитель равен: $\frac{\frac{b^2-a^2}{ab}}{\frac{a^3}{b}} = \frac{b^2-a^2}{ab} \cdot \frac{b}{a^3} = \frac{b^2-a^2}{a^4}$.

Теперь выполним деление полученных выражений:
$\frac{a^2-b^2}{a^3} : \frac{b^2-a^2}{a^4} = \frac{a^2-b^2}{a^3} \cdot \frac{a^4}{b^2-a^2}$

Заметим, что $b^2-a^2 = -(a^2-b^2)$, поэтому:
$\frac{a^2-b^2}{a^3} \cdot \frac{a^4}{-(a^2-b^2)} = -\frac{a^4}{a^3} = -a$.

Ответ: $-a$