Номер 952, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

952. a) $\left(4 \sqrt[3]{\frac{81x^9}{y^{-2}}} - \frac{2}{x^{-1}} \sqrt[3]{\frac{3y^2}{8^{-2}x^{-6}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{y}{3^{-2}}}$;

б) $\left(\sqrt[4]{\frac{128x^3}{y^{-6}}} + x^{-1}y \sqrt[4]{\frac{8y^2}{x^{-7}}}\right) \cdot \sqrt[4]{\frac{x^2}{4^{-1}y^{-3}}}$.

а)

Упростим выражение по шагам, начиная с членов в скобках.

1. Преобразуем первый член в скобках:
$4 \sqrt[3]{\frac{81x^9}{y^{-2}}} = 4 \sqrt[3]{81x^9y^2} = 4 \sqrt[3]{27 \cdot 3 \cdot x^9 \cdot y^2} = 4 \sqrt[3]{(3x^3)^3 \cdot 3y^2} = 4 \cdot 3x^3 \sqrt[3]{3y^2} = 12x^3 \sqrt[3]{3y^2}$.

2. Преобразуем второй член в скобках:
$\frac{2}{x^{-1}} \sqrt[3]{\frac{3y^2}{8^{-2}x^{-6}}} = 2x \sqrt[3]{3y^2 \cdot 8^2 \cdot x^6} = 2x \sqrt[3]{3y^2 \cdot 64 \cdot x^6} = 2x \sqrt[3]{(4x^2)^3 \cdot 3y^2} = 2x \cdot 4x^2 \sqrt[3]{3y^2} = 8x^3 \sqrt[3]{3y^2}$.

3. Выполним вычитание в скобках:
$12x^3 \sqrt[3]{3y^2} - 8x^3 \sqrt[3]{3y^2} = (12-8)x^3 \sqrt[3]{3y^2} = 4x^3 \sqrt[3]{3y^2}$.

4. Упростим множитель за скобками:
$\sqrt[3]{\frac{y}{3^{-2}}} = \sqrt[3]{y \cdot 3^2} = \sqrt[3]{9y}$.

5. Перемножим полученные выражения:
$(4x^3 \sqrt[3]{3y^2}) \cdot \sqrt[3]{9y} = 4x^3 \sqrt[3]{3y^2 \cdot 9y} = 4x^3 \sqrt[3]{27y^3} = 4x^3 \cdot 3y = 12x^3y$.

Ответ: $12x^3y$.

б)

Упростим выражение по шагам, начиная с членов в скобках.

1. Преобразуем первый член в скобках:
$\sqrt[4]{\frac{128x^3}{y^{-6}}} = \sqrt[4]{128x^3y^6} = \sqrt[4]{2^7x^3y^6} = \sqrt[4]{16 \cdot 8 \cdot x^3 \cdot y^4 \cdot y^2} = \sqrt[4]{(2y)^4 \cdot 8x^3y^2} = 2y\sqrt[4]{8x^3y^2}$.

2. Преобразуем второй член в скобках:
$x^{-1}y \sqrt[4]{\frac{8y^2}{x^{-7}}} = \frac{y}{x} \sqrt[4]{8y^2x^7} = \frac{y}{x} \sqrt[4]{8y^2x^4x^3} = \frac{y}{x} \sqrt[4]{x^4 \cdot 8x^3y^2} = \frac{y}{x} \cdot x \sqrt[4]{8x^3y^2} = y\sqrt[4]{8x^3y^2}$.

3. Выполним сложение в скобках:
$2y\sqrt[4]{8x^3y^2} + y\sqrt[4]{8x^3y^2} = (2y+y)\sqrt[4]{8x^3y^2} = 3y\sqrt[4]{8x^3y^2}$.

4. Упростим множитель за скобками:
$\sqrt[4]{\frac{x^2}{4^{-1}y^{-3}}} = \sqrt[4]{x^2 \cdot 4 \cdot y^3} = \sqrt[4]{4x^2y^3}$.

5. Перемножим полученные выражения:
$(3y\sqrt[4]{8x^3y^2}) \cdot \sqrt[4]{4x^2y^3} = 3y\sqrt[4]{(8x^3y^2)(4x^2y^3)} = 3y\sqrt[4]{32x^5y^5} = 3y\sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot x^4 \cdot x \cdot y^4 \cdot y} = 3y\sqrt[4]{(2xy)^4 \cdot 2xy} = 3y \cdot 2xy \sqrt[4]{2xy} = 6xy^2\sqrt[4]{2xy}$.

Ответ: $6xy^2\sqrt[4]{2xy}$.