Номер 948, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (948—952):

948. а) $\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{4b}{a}};$

б) $\frac{1}{3}\sqrt[4]{\frac{xy^2}{2}} \cdot \sqrt[4]{\frac{81}{4}} : (x^3y).$

a)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{4b}{a}}$, воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}$.

Объединим подкоренные выражения: $$ \sqrt[3]{\frac{a^2}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{4b}{a}} = \sqrt[3]{\frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{4b}{a}} $$

Теперь упростим выражение внутри кубического корня, сокращая дроби: $$ \sqrt[3]{\frac{4a^2b}{ab^2}} = \sqrt[3]{\frac{4a^{2-1}}{b^{2-1}}} = \sqrt[3]{\frac{4a}{b}} $$

Дальнейшее упрощение невозможно, так как в подкоренном выражении нет множителей, являющихся точным кубом.

Ответ: $\sqrt[3]{\frac{4a}{b}}$

б)

Рассмотрим выражение $\frac{1}{3}\sqrt[4]{\frac{xy^2}{2}} \cdot \sqrt[4]{\frac{81}{4}} : (x^3y)$.

Сначала перемножим корни, используя свойство $\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B} = \sqrt[n]{A \cdot B}$: $$ \frac{1}{3}\sqrt[4]{\frac{xy^2}{2} \cdot \frac{81}{4}} : (x^3y) = \frac{1}{3}\sqrt[4]{\frac{81xy^2}{8}} : (x^3y) $$

Упростим числовой коэффициент. Поскольку $\sqrt[4]{81} = 3$, мы можем вынести его из-под корня: $$ \frac{1}{3}\frac{\sqrt[4]{81}\sqrt[4]{xy^2}}{\sqrt[4]{8}} : (x^3y) = \frac{1}{3}\frac{3\sqrt[4]{xy^2}}{\sqrt[4]{8}} : (x^3y) = \frac{\sqrt[4]{xy^2}}{\sqrt[4]{8}} : (x^3y) $$

Теперь выполним деление. Деление на $(x^3y)$ эквивалентно умножению на $\frac{1}{x^3y}$: $$ \frac{\sqrt[4]{xy^2}}{\sqrt[4]{8}} \cdot \frac{1}{x^3y} = \frac{\sqrt[4]{xy^2}}{x^3y\sqrt[4]{8}} $$

Чтобы объединить все под один корень, представим множитель $x^3y$ в виде корня четвертой степени: $x^3y = \sqrt[4]{(x^3y)^4} = \sqrt[4]{x^{12}y^4}$. $$ \frac{\sqrt[4]{xy^2}}{\sqrt[4]{8x^{12}y^4}} = \sqrt[4]{\frac{xy^2}{8x^{12}y^4}} $$

Сократим дробь под корнем, используя свойства степеней: $$ \sqrt[4]{\frac{1}{8x^{12-1}y^{4-2}}} = \sqrt[4]{\frac{1}{8x^{11}y^2}} $$

Наконец, вынесем из знаменателя под корнем множители, являющиеся точной четвертой степенью, чтобы упростить выражение. Заметим, что $x^{11} = x^8 \cdot x^3 = (x^2)^4 \cdot x^3$: $$ \sqrt[4]{\frac{1}{8x^{11}y^2}} = \frac{1}{\sqrt[4]{8x^{11}y^2}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^8 \cdot 8x^3y^2}} = \frac{1}{x^2\sqrt[4]{8x^3y^2}} $$

Ответ: $\frac{1}{x^2\sqrt[4]{8x^3y^2}}$