Номер 943, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

943. При каких $a$ и $b$ верно равенство $\sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b}$?

Для того чтобы данное равенство было верным, необходимо, чтобы обе его части были определены, то есть имели смысл. Это называется нахождением области допустимых значений (ОДЗ).

Рассмотрим область определения для левой и правой частей равенства $\sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b}$.

1. Выражение в правой части, $|a|\sqrt{b}$, содержит квадратный корень из $b$. Арифметический квадратный корень определён только для неотрицательных чисел. Следовательно, должно выполняться условие: $$ b \geq 0 $$

2. Выражение в левой части, $\sqrt{a^2b}$, также содержит квадратный корень. Подкоренное выражение $a^2b$ должно быть неотрицательным: $$ a^2b \geq 0 $$

Для того чтобы исходное равенство было корректным, оба этих условия должны выполняться одновременно. Получаем систему неравенств: $$ \begin{cases} b \geq 0 \\ a^2b \geq 0 \end{cases} $$ Рассмотрим второе неравенство $a^2b \geq 0$. Квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательным, то есть $a^2 \geq 0$. Если мы умножим это неравенство на неотрицательное число $b$ (что следует из первого условия, $b \geq 0$), то произведение $a^2b$ также будет неотрицательным. Таким образом, условие $a^2b \geq 0$ автоматически выполняется, если выполняется условие $b \geq 0$. Переменная $a$ при этом может быть любым действительным числом.

Итак, область допустимых значений для данного равенства: $a$ — любое действительное число, $b \geq 0$.

Теперь проверим, будет ли равенство тождественно верным в этой области. Преобразуем левую часть равенства $\sqrt{a^2b}$, используя свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, которое справедливо для $x \geq 0$ и $y \geq 0$. В нашем случае $x = a^2$ и $y = b$. Так как $a^2 \geq 0$ и мы работаем в области, где $b \geq 0$, мы можем применить это свойство: $$ \sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} $$ По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2}$ равно модулю числа $a$: $$ \sqrt{a^2} = |a| $$ Подставляя это в наше преобразование, получаем: $$ \sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b} $$ Мы видим, что левая часть равенства тождественно равна правой части для всех $a$ и $b$ из области допустимых значений.

Ответ: Равенство верно при любом действительном значении $a$ и любом неотрицательном значении $b$ (то есть $b \geq 0$).