Номер 945, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

945. a) $5\sqrt[3]{16} + 3\sqrt[3]{-54} - 6\sqrt[3]{-128} - 7\sqrt[3]{-250} + 2\sqrt[3]{432};$

б) $7\sqrt[3]{24} + 5\sqrt[3]{81} + 4\sqrt[3]{-192} + 2\sqrt[3]{-375} - \sqrt[3]{1029}.$

a) Чтобы упростить выражение $5\sqrt[3]{16} + 3\sqrt[3]{-54} - 6\sqrt[3]{-128} - 7\sqrt[3]{-250} + 2\sqrt[3]{432}$, необходимо преобразовать каждый член, вынеся из-под знака кубического корня множитель, который является полным кубом.

1. Упростим $5\sqrt[3]{16}$. Число 16 можно представить как $8 \cdot 2$, где 8 это $2^3$.
$5\sqrt[3]{16} = 5\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 5\sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 5 \cdot 2\sqrt[3]{2} = 10\sqrt[3]{2}$.

2. Упростим $3\sqrt[3]{-54}$. Используем свойство $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$. Число 54 можно представить как $27 \cdot 2$, где 27 это $3^3$.
$3\sqrt[3]{-54} = -3\sqrt[3]{54} = -3\sqrt[3]{27 \cdot 2} = -3\sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = -3 \cdot 3\sqrt[3]{2} = -9\sqrt[3]{2}$.

3. Упростим $-6\sqrt[3]{-128}$. Число 128 можно представить как $64 \cdot 2$, где 64 это $4^3$.
$-6\sqrt[3]{-128} = (-6)(-\sqrt[3]{128}) = 6\sqrt[3]{128} = 6\sqrt[3]{64 \cdot 2} = 6\sqrt[3]{4^3 \cdot 2} = 6 \cdot 4\sqrt[3]{2} = 24\sqrt[3]{2}$.

4. Упростим $-7\sqrt[3]{-250}$. Число 250 можно представить как $125 \cdot 2$, где 125 это $5^3$.
$-7\sqrt[3]{-250} = (-7)(-\sqrt[3]{250}) = 7\sqrt[3]{250} = 7\sqrt[3]{125 \cdot 2} = 7\sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = 7 \cdot 5\sqrt[3]{2} = 35\sqrt[3]{2}$.

5. Упростим $2\sqrt[3]{432}$. Число 432 можно представить как $216 \cdot 2$, где 216 это $6^3$.
$2\sqrt[3]{432} = 2\sqrt[3]{216 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{6^3 \cdot 2} = 2 \cdot 6\sqrt[3]{2} = 12\sqrt[3]{2}$.

Теперь сложим полученные выражения, так как все они содержат общий множитель $\sqrt[3]{2}$:
$10\sqrt[3]{2} - 9\sqrt[3]{2} + 24\sqrt[3]{2} + 35\sqrt[3]{2} + 12\sqrt[3]{2} = (10 - 9 + 24 + 35 + 12)\sqrt[3]{2} = (1 + 24 + 35 + 12)\sqrt[3]{2} = (25 + 35 + 12)\sqrt[3]{2} = 72\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $72\sqrt[3]{2}$

б) Упростим выражение $7\sqrt[3]{24} + 5\sqrt[3]{81} + 4\sqrt[3]{-192} + 2\sqrt[3]{-375} - \sqrt[3]{1029}$ по тому же принципу.

1. Упростим $7\sqrt[3]{24}$. Число 24 можно представить как $8 \cdot 3$, где 8 это $2^3$.
$7\sqrt[3]{24} = 7\sqrt[3]{8 \cdot 3} = 7\sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 7 \cdot 2\sqrt[3]{3} = 14\sqrt[3]{3}$.

2. Упростим $5\sqrt[3]{81}$. Число 81 можно представить как $27 \cdot 3$, где 27 это $3^3$.
$5\sqrt[3]{81} = 5\sqrt[3]{27 \cdot 3} = 5\sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = 5 \cdot 3\sqrt[3]{3} = 15\sqrt[3]{3}$.

3. Упростим $4\sqrt[3]{-192}$. Число 192 можно представить как $64 \cdot 3$, где 64 это $4^3$.
$4\sqrt[3]{-192} = -4\sqrt[3]{192} = -4\sqrt[3]{64 \cdot 3} = -4\sqrt[3]{4^3 \cdot 3} = -4 \cdot 4\sqrt[3]{3} = -16\sqrt[3]{3}$.

4. Упростим $2\sqrt[3]{-375}$. Число 375 можно представить как $125 \cdot 3$, где 125 это $5^3$.
$2\sqrt[3]{-375} = -2\sqrt[3]{375} = -2\sqrt[3]{125 \cdot 3} = -2\sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = -2 \cdot 5\sqrt[3]{3} = -10\sqrt[3]{3}$.

5. Упростим $-\sqrt[3]{1029}$. Число 1029 можно представить как $343 \cdot 3$, где 343 это $7^3$.
$-\sqrt[3]{1029} = -\sqrt[3]{343 \cdot 3} = -\sqrt[3]{7^3 \cdot 3} = -7\sqrt[3]{3}$.

Теперь сложим полученные выражения, так как все они содержат общий множитель $\sqrt[3]{3}$:
$14\sqrt[3]{3} + 15\sqrt[3]{3} - 16\sqrt[3]{3} - 10\sqrt[3]{3} - 7\sqrt[3]{3} = (14 + 15 - 16 - 10 - 7)\sqrt[3]{3} = (29 - 33)\sqrt[3]{3} = -4\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $-4\sqrt[3]{3}$