Номер 946, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

946. a) $7\sqrt{x} - 4\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x} - \sqrt[6]{x^2} + \sqrt{x^3}$;

б) $a + 2\sqrt{a} + 3\sqrt[3]{a} + 4\sqrt[3]{a} - 4\sqrt[4]{a^2} - 3\sqrt[6]{a^2} - \sqrt[6]{a^3}$.

а)

Чтобы упростить выражение $7\sqrt{x} - 4\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x} - \sqrt[6]{x^2} + \sqrt{x^3}$, необходимо привести все корни к простейшему виду и затем сгруппировать подобные слагаемые. Предполагается, что $x \ge 0$, чтобы все корни были определены.

1. Упростим члены выражения, где это возможно. Используем свойство корней $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ и $\sqrt{a^2}=|a|$.
$\sqrt[6]{x^2} = x^{2/6} = x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$.
$\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2}\sqrt{x} = x\sqrt{x}$ (поскольку $x \ge 0$).

2. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:
$7\sqrt{x} - 4\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x} - \sqrt[3]{x} + x\sqrt{x}$.

3. Теперь сгруппируем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковой подкоренной частью.
Группа с $\sqrt{x}$: $7\sqrt{x} - 6\sqrt{x}$.
Группа с $\sqrt[3]{x}$: $-4\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x}$.
Оставшийся член: $x\sqrt{x}$.

4. Выполним сложение и вычитание в каждой группе:
$(7-6)\sqrt{x} = 1 \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x}$.
$(-4+5-1)\sqrt[3]{x} = 0 \cdot \sqrt[3]{x} = 0$.

5. Соберем все вместе:
$\sqrt{x} + 0 + x\sqrt{x} = \sqrt{x} + x\sqrt{x}$.

Выражение можно также представить, вынеся общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки: $\sqrt{x}(1+x)$.

Ответ: $\sqrt{x} + x\sqrt{x}$.

б)

Упростим выражение $a + 2\sqrt{a} + 3\sqrt[3]{a} + 4\sqrt[3]{a} - 4\sqrt[4]{a^2} - 3\sqrt[6]{a^2} - \sqrt[6]{a^3}$. Предполагается, что $a \ge 0$.

1. Упростим корни, используя свойство $ \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} $ и сокращая дроби в показателе степени:
$\sqrt[4]{a^2} = a^{2/4} = a^{1/2} = \sqrt{a}$.
$\sqrt[6]{a^2} = a^{2/6} = a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$.
$\sqrt[6]{a^3} = a^{3/6} = a^{1/2} = \sqrt{a}$.

2. Подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$a + 2\sqrt{a} + 3\sqrt[3]{a} + 4\sqrt[3]{a} - 4\sqrt{a} - 3\sqrt[3]{a} - \sqrt{a}$.

3. Сгруппируем подобные слагаемые:
$a + (2\sqrt{a} - 4\sqrt{a} - \sqrt{a}) + (3\sqrt[3]{a} + 4\sqrt[3]{a} - 3\sqrt[3]{a})$.

4. Выполним действия в каждой группе, складывая коэффициенты при одинаковых корнях:
$a + (2 - 4 - 1)\sqrt{a} + (3 + 4 - 3)\sqrt[3]{a}$.
$a - 3\sqrt{a} + 4\sqrt[3]{a}$.

Ответ: $a - 3\sqrt{a} + 4\sqrt[3]{a}$.